Exemples de continuités de fonctions
Comment étudier la continuité d’une fonction ? Cette page s’adresse aux élèves de terminale générale. Elle indique quelles méthodes utiliser, exemples à l’appui.
Précisons qu’après avoir travaillé sur la continuité dans la cadre des études de fonctions, vous aurez la joie de retrouver cette notion en théorie des probabilités (lois à densité).
Opérations sur fonctions usuelles
Nous supposerons que vous connaissez les règles de continuité des fonctions usuelles (sinon, rafraîchissez-vous la mémoire en page de continuité et TVI).
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I.\) Soit deux réels \(a\) et \(b.\) Alors, sur cet intervalle \(I,\) \(af + bg\) est continue, \(f × g\) est continue, \(|f|\) l’est tout autant ainsi que \(\frac{1}{f}\) dans la mesure où \(f\) n’est pas nulle.
Exemple : étudions la continuité, sur son ensemble de définition, de \(f :x ↦ \frac{\sin x + \sqrt{x}}{x - 3}\)
\(f\) est définie sur \(D_f = [0\ ;3[ ∪ ]3\, ;+∞[.\)
\(x ↦ \sin x + \sqrt{x}\) est continue sur \(D_f\) comme somme de fonctions usuelles continues. \(f\) est continue sur \(D_f\) comme quotient de fonctions continues.
Courbe représentative de \(f\) (tracée avec GeoGebra) :
Composées de fonctions continues
Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I,\) alors la fonction composée \(h = f \circ g\) est elle aussi continue sur \(I.\)
Exemple :
\(g : x↦ \sqrt{\cos x}\)
La fonction \(g\) est définie pour \(\cos x \geqslant 0\) donc sur \([-\frac{π}{2} \ ; \frac{π}{2}] + 2kπ\) avec \(k ∈ \mathbb{Z}.\)
Ainsi, \(g\) est continue sur son ensemble de définition \(D_g\) en tant que composée de fonctions usuelles.
La courbe représentative est particulièrement décorative :
Expressions différenciées
Nous devons étudier la continuité d’une fonction en \(x_0\) dont l’expression est différente à gauche et à droite de \(x_0.\) Parfois même elle présente une troisième expression en \(x_0.\)
Pour cela, il faut calculer l’image de \(x_0\) ainsi que la ou les limites de la fonction lorsqu’elle tend vers \(x_0\) et que l’expression diffère.
Exemple :
\[f:x \mapsto \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x\;\;{\rm{si}}\;x < 0}\\
{{x^2}\;\;{\rm{si}}\;x \ge 0}
\end{array}} \right.\]
\(f\) est la fonction sinus sur \(]-∞ \, ; 0[.\) Elle est donc continue sur cet intervalle. C’est la fonction carré sur \([0\, ; +∞[.\) Elle est aussi continue sur l’intervalle.
\(f(0) = 0^2 = 0.\)
La limite à gauche est \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin x = 0\)
\(f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\) donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}.\)
Vous remarquerez que dans cet exemple il n’y a pas lieu de calculer la limite à droite de 0.
Prolongement par continuité
Le théorème de prolongement par continuité figure au programme de maths de spécialité mais seulement en qualité d'approfondissement possible. Toutefois, l’exemple qui suit peut être réalisé à titre d’exercice, même en maths complémentaires.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) sauf en \(a.\) Soit \(\ell\) la limite finie de \(f\) de part et d’autre de \(a.\) Si l’on pose \(f(a) = \ell\) alors \(f\) admet un prolongement par continuité en \(a.\)
Exemple
Soit la fonction \(f\) définie comme suit :
\[f:x \mapsto \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x\sin \frac{1}{x}\;\;{\rm{ si }}\;x \ne 0}\\
{\alpha \;\;{\rm{ si }}\;x = 0}
\end{array}} \right.\]
Peut-on déterminer une valeur de \(α\) pour que \(f\) soit continue sur \(\mathbb{R}\) ?
La limite autour de 0 de \(\frac{1}{x}\) est infinie mais un sinus est toujours compris entre -1 et 1. Donc la limite en 0 de \(x \sin\frac{1}{x}\) est 0.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 0\)
Ces limites étant finies et égales, on peut prolonger \(f\) par continuité en posant \(α = 0.\)
