Divisibilité, nombres parfaits et renversés
Le thème des diviseurs et multiples n’est en théorie pas très compliqué puisqu'il est enseigné dès le collège. Comme la présente page s’adresse plutôt aux élèves de terminale générale maths expertes, les exemples qui illustreront ces notions de base réclameront tout de même une certaine réflexion.
Pour les propriétés nous nous situerons dans l’ensemble des entiers relatifs mais les exercices se placeront dans celui des entiers naturels.
Rappels de définitions
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs avec \(b \ne 0.\)
\(a\) est un multiple de \(b\) lorsqu’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(a = kb.\) On dit aussi que \(b\) est un diviseur de \(a\) (on le note \(b | a\)) ou que \(b\) divise \(a.\)
Propriétés
Si \(b | a,\) alors \(|b| \leqslant |a|.\)
Soit \(c\) un troisième relatif non nul. Si \(c | b\) et \(b | a,\) alors \(c | a\) (transitivité de la relation de divisibilité).
Une troisième propriété est un peu moins évidente que les précédentes.
Soit \(a'\) un entier relatif. Si \(b | a\) et \(b | a'\) alors \(b | a + a'\) et \(b | a - a'.\)
Par exemple, 2 divise 8 et 12, donc 2 divise 20 et -4 (respectivement 8 + 12 et 8 - 12).
Soit \(n\) un entier naturel. Si \(b | a\) alors \(b | na,\) \(b | a^n\) et \(b^n | a^n.\)
Soit \(a,\) \(b,\) \(c\) et \(d\) quatre entiers relatifs dont \(c\) et \(d\) sont non nuls. Si \(c | a\) et \(d | b\) alors \(cd | ab.\)
Enfin, la propriété de combinaison linéaire :
Soit deux entiers relatifs \(u\) et \(v.\) Si \(b | a\) et \(b | c\) alors \(b\) divise \(ua + vc.\)
Par exemple, 2 divise 4 et 10, donc 2 divise \(4 × 7 + 10 × 2\) (2 divise 48). Les multiplications par 7 et par 2 ont été choisies arbitrairement.
Exercices
Exercice 1
Trouver le ou les couples d’entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(x^2 - y^2 = 20.\)
Exercice 2
Déterminer les entiers naturels \(m\) et \(n\) tels que \(m(2n + 1) = 12.\)
Exercice 3
Soit \(n\) un entier naturel. Le nombre \(N = n^2 + 5n + 4\) est-il divisible par \(n + 1\) ?
Exercice 4
Déterminer l’entier naturel \(n\) tel que \(n + 15\) soit divisible par \(n - 1.\)
Corrigés
Corrigé 1
Factorisons l’identité remarquable.
\((x + y)(x - y) = 20.\)
Donc \(x + y\) et \(x - y\) sont des diviseurs de 20.
Les diviseurs de 20 sont 1, 2, 4, 5 et 10.
Première possibilité, \(x - y = 2\) et \(x + y = 10.\) Résolvons le système. Nous trouvons \(y = 4\) et \(x = 6.\)
Seconde possibilité, \(x - y = 4\) et \(x + y = 5.\) Ce système d’équations n’a pas de solutions entières.
Donc l'unique solution est le couple \((4\,;6).\)
Corrigé 2
Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. On sait que \(2n + 1\) est un facteur impair. Ce ne peut être que 3.
Donc \(n = 1\) et nous en déduisons que \(m = 4.\)
Corrigé 3
Nous cherchons les racines de \(N.\) Le discriminant est égal à \(5^2 - 4 × 1 × 4 = 9.\) Il est positif donc \(N\) admet deux racines.
\(n_1 = \frac{-5 - 3}{2} = -4\) et \(n_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1.\)
D’où \(N = (n + 4)(n + 1).\)
\(N\) est bien divisible par \(n + 1.\)
Corrigé 4
\(n + 15 = n - 1 + 16.\)
Or, si \(b | a + a'\) alors \(b | a\) et \(b | a'.\)
Donc \(n - 1\) divise 16 (et il divise \(n - 1\) mais, ça, c’est évident !).
Les diviseurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16. Donc \(n\) \(=\) \(2,\) \(3,\) \(5,\) \(9\) et \(17.\)
On peut d’ailleurs vérifier toutes les possibilités : 17 est divisible par 1, 18 par 2, 20 par 4, 24 par 8 et 32 par 16.
En prime, un peu de vocabulaire
Lorsqu’un entier naturel est égal à la somme de ses diviseurs (autres que lui-même), on dit qu’il est parfait. On doit cette notion à Pythagore.
Ainsi, 6 est un nombre parfait puisque ses diviseurs sont 1, 2 et 3 et que \(1 + 2 + 3 = 6.\) Le suivant est 28, divisible par 1, 2, 4, 7 et 14. Or \(1 + 2 + 4 + 7 + 14\) \(=\) \(28.\) Puis viennent 496, 8 128, 33 550 336, etc. Tout nombre parfait est triangulaire.
Il n'existerait pas de nombre parfait impair mais ceci n'a pas encoré été démontré. Aucune preuve non plus qu'il en existe une infinité. En revanche, on sait que tout nombre parfait pair se termine soit par 6 soit par 8.
Si un entier naturel est supérieur à la somme de ses diviseurs, il est déficient. Par exemple, 10 est déficient car ses diviseurs sont 1, 2 et 5. Or \(1 + 2 + 5 = 8.\) Évidemment, tout nombre premier est déficient.
S’il est inférieur, il est abondant. Par exemple, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4 et 6 et la somme de ces nombres est égale à 16.
Un nombre renversé est un entier formé par les mêmes chiffres qu’un autre mais dans l’ordre inverse. Par exemple, 748 est le renversé de 847. Un nombre égal à son renversé est un palindrome, terme que vous avez certainement appris en cours de français. « Esope reste ici et se repose » est un palindrome, tout comme le nombre 404.
Propriétés : la différence entre un entier de deux chiffres et son renversé est égal à 9 fois la différence entre les deux chiffres. Prenons l’exemple de 13 et 31. La différence entre eux est 18. Et la différence entre 1 et 3 est 2. On vérifie que \(2 × 9 = 18.\)
La différence entre un entier de trois chiffres et son renversé est égal à cette différence multipliée par un multiple de 9. Si les trois chiffres sont consécutifs, cette différence est égale à 198. Par exemple, \(876 - 678 = 198.\)
La différence entre un entier de quatre chiffres consécutifs et son renversé est égale à 3 087. Par exemple, \(4321 - 1234\) \(=\) \(3087.\)
Il existe toute une floppée de curiosités sur les nombres renversés mais nous en resterons à ces quelques propriétés.
