Détermination du module et de l'argument
Vous êtes en présence d’un nombre complexe, exprimé sous sa forme algébrique, et l’envie vous prend de déterminer son module et son argument (par exemple pour procéder à un produit ou à un quotient, la forme trigonométrique étant plus adaptée à ces opérations que l’algébrique). Comment faire ? Cette page vous fournit un mode d’emploi puis quelques exercices simples.
La technique
Sous sa forme algébrique, un nombre complexe se présente ainsi : \(z = x + iy,\) avec \(i^2 = -1.\)
Sous sa forme trigonométrique, il ressemble à ceci : \(z\) \(=\) \(|z| (\cosθ + i\sinθ),\) qui s’écrit aussi \(z\) \(=\) \(r (\cosθ + i\sinθ).\)
Le module est \(|z|\) (ou \(r\)) et l’argument est \(θ.\)
Pour passer de la première écriture à la seconde, il faut d’abord déterminer le module.
\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
Cette étape n’offre aucune difficulté et se vérifie très rapidement avec une calculatrice (voir la page sur le module d'un produit et d'un inverse). Ensuite, on cherche un argument \(θ\) qui satisfait aux deux conditions suivantes : \(\cos \theta = \frac{x}{r}\) et \(\sin \theta = \frac{y}{r}\)
Là, il est appréciable de bien maîtriser la configuration du cercle trigonométrique. Dans les exercices qui suivent, nous chercherons toujours UN argument et non L’argument puisque graphiquement il s’agit d’un angle et que tout angle a une infinité de mesures en radians (une mesure principale et la même majorée de \(2k\,π,\) avec \(k\) entier relatif).
Exercices
Exercice 1
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : \(z_1 = 2,\) \(z_2 = -3,\) \(z_3 = 2i\) et \(z_4 = -3i.\)
Exercice 2
Écrire le complexe \(z = 1 + i\) sous forme trigonométrique.
Exercice 3
Écrire le nombre complexe \(z = -1 + i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.
Exercice 4
Soit le nombre complexe \(z = 4 - 4i.\) L’écrire sous une forme trigonométrique.
Exercice 5
Déterminer une forme trigonométrique de \(z,\) affixe du point \(A\) représenté ci-dessous, puis en déduire sa forme algébrique.
Corrigés
Corrigé 1
Il n’est même pas nécessaire d’utiliser la formule ; en revanche on peut se représenter mentalement le plan complexe. \(z_1\) et \(z_2\) sont des réels, donc leurs arguments sont nuls et leurs modules sont leurs valeurs absolues (respectivement 2 et 3). \(z_3\) et \(z_4\) sont des imaginaires purs. Leurs modules sont respectivement 2 et 3. Comme 2 est positif, un argument de \(z_3\) est \(\frac{π}{2}\) (un quart du cercle trigonométrique à parcourir). Un argument de \(z_4\) est \(-\frac{π}{2}\) (un quart de cercle en sens inverse).
Corrigé 2
\(z\) est écrit sous la forme \(x + iy\) avec \(x = 1\) et \(y = 1.\)
Module : \(|z|\) \(=\) \(\sqrt{1^2 + 1^2}\) \(=\) \(\sqrt{2}\)
Recherche d’un argument : \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.\) C’est l’une des valeurs à connaître dès la classe de première : \(θ = \frac{π}{4}.\)
Donc : \(z\) \(=\) \(\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})\)
On peut d'ailleurs vérifier ce résultat. Nous savons que \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\) Ainsi \(z\) \(=\) \(\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})\) \(=\) \(1 + i.\) Nous retombons bien sur la forme algébrique de l'énoncé.
Corrigé 3
Le module de \(z = -1 + i\sqrt{3}\) est \(|z|\) \(=\) \(\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2}\) \(=\) \(\sqrt{4}\) \(=\) \(2\)
Recherche d’un argument : \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\) et \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}.\) En cas de défaillance de mémoire, le recours au cercle trigonométrique est salvateur (ici, le cercle est réalisé avec Sinequanon et adapté à notre exercice grâce à Photoshop) :
Un argument est égal à \(\frac{2π}{3}.\)
Concluons : \(z\) \(=\) \(2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})\)
Corrigé 4
\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{4^2 + (-4)^2}\) \(=\) \(\sqrt{32}\) \(=\) \(4\sqrt{2}\)
\(\cos \theta\) \(=\) \(\frac{4}{4\sqrt{2}}\) \(=\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin \theta\) \(=\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Là encore, l’argument est une célébrité trigonométrique : \(-\frac{π}{4}.\)
\(z\) \(=\) \(4\sqrt{2}\left(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4})\right)\)
Note : lorsque l’argument ne peut pas être exprimé par un rationnel ou en fonction de \(π,\) on se contente d’une valeur approchée.
Corrigé 5
Le point \(A\) est situé sur un cercle de centre \(O\) et de rayon 2. Donc \(|z| = 2.\)
Si l'on change d'échelle pour se situer sur le cercle trigonométrique, \(A\) a pour cosinus -0,5 et il se situe dans sa partie supérieure. Il forme donc angle de \(\frac{2\pi}{3}.\)
Ainsi, \(z\) \(=\) \(2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})\)
Nous en déduisons la forme algébrique : \(z\) \(=\) \(2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})\) \(=\) \(-1 + i\sqrt{3}\)
