Exercice sur triangle dans le plan complexe
En terminale générale (maths expertes) sont étudiées des représentations géométriques dans le plan complexe. Par exemple des triangles. Et parfois, paf ! Ça tombe au bac. C’est ce qui arriva un beau jour de printemps à Pondichéry en 2017. Remémorons-nous les évènements…
Énoncé
- On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct \((O\,,\overrightarrow u, \overrightarrow v).\)
- 1- On considère l’équation
\[(E) : z^2 - 6z + c = 0\]
- où \(c\) est un réel strictement supérieur à 9.
- A. Justifier que \((E)\) admet deux solutions complexes non réelles.
- B. Justifier que les solutions de \((E)\) sont \(z_A\) \(=\) \(3 + i\sqrt{c - 9}\) et \(z_B\) \(=\) \(3 - i \sqrt{c - 9}\)
- 2- On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(z_A\) et \(z_B.\)
- Justifier que le triangle est isocèle en \(O.\)
- 3- Démontrer qu’il existe une valeur du réel \(c\) pour laquelle le triangle \(OAB\) est rectangle et déterminer cette valeur.
Corrigé détaillé
1- A. Cette première question ne pose aucune difficulté. Il suffit de montrer que le discriminant est strictement négatif.
Donc \(Δ = 36 - 4c.\)
Comme \(c > 9,\) il s'ensuit que \(Δ < 0.\) Les solutions de l’équation ne sont donc pas réelles.
B. Rappel : un discriminant négatif signifie que l’équation \(az^2 + bz + c\) \(=\) \(0\) admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble des complexes :
\(z_1 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\) et \(z_2 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)
En l’occurrence, on obtient \(\frac{6 - i\sqrt{4c - 36}}{2}\) et \(\frac{6 + i \sqrt{4c - 36}}{2}\)
Nommons ces racines (et modifions les écritures par la même occasion)…
\(z_B = \frac{6 - 2i\sqrt{c-9}}{2}\) et \(z_A= \frac{6 + 2i\sqrt{c-9}}{2}\)
En simplifiant les quotients par 2, on obtient bien les solutions indiquées dans l’énoncé.
2- \(z_B\) est le conjugué de \(z_A.\) Donc ces deux affixes ont le même module. Ainsi \(OA = OB\) donc le triangle \(AOB\) est isocèle en \(O.\)
3- Enfin une question qui réclame un peu de réflexion (oui, jusque-là c’était quand même facile !)
Par propriété, un triangle isocèle en \(O\) ne peut être rectangle qu’en \(O.\) Pour cela, il faut que \(\frac{z_A - z_O}{z_B - Z_O} = i\) ou \(-i,\) donc \(\frac{z_A}{z_B} = i\) ou \(-i.\)
Étudions ces deux possibilités.
\[\frac{3 + i \sqrt{c - 9}}{3 - i \sqrt{c - 9}} = i\]
\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = i(3 - i\sqrt{c - 9})\)
\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = 3i + \sqrt{c - 9 }\)
\(\Leftrightarrow 3 - 3i = \sqrt{c - 9} - i \sqrt{c - 9}\)
\(\Leftrightarrow 3(1 - i) = \sqrt{c - 9}(1 - i)\)
\(\Leftrightarrow 3 = \sqrt{c - 9}\)
\(\Leftrightarrow 9 = c - 9\)
\(\Leftrightarrow c = 18\)
Cette solution suffit pour répondre à l’énoncé mais si jamais vous aviez commencé par l’autre équation, la voici :
\[\frac{3 + i \sqrt{c - 9}}{3 - i \sqrt{c - 9}} = -i\]
\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = -i(3 - i\sqrt{c - 9})\)
\(\Leftrightarrow 3 + i \sqrt{c - 9} = -3i - \sqrt{c - 9 }\) (n’oublions pas que \((-i)^2 = -1\))
\(\Leftrightarrow 3 + 3i = - i \sqrt{c - 9} - \sqrt{c - 9} \)
\(\Leftrightarrow 3(1 + i) = \sqrt{c - 9}(-i - 1)\)
\(\Leftrightarrow 3 = -\sqrt{c - 9}\)
C’est impossible.
En tout état de cause, nous avons déterminé une valeur réelle de \(c\) pour que le triangle \(AOB\) soit rectangle et c'est 18.
Non demandé dans l’énoncé : nous avons \(z_A = 3 + 3i\) et \(z_B = 3 - 3i\)
Illustration graphique (GeoGebra, retouché avec Illustrator)
Note 1 : vous pouvez compléter ce type d'exercice avec quelques exemples en page de distances et angles dans le plan complexe.
Note 2 : un triangle peut aussi vous prévenir que le plan est complexe :
