Les angles dans le plan complexe

Angles et distances dans le plan complexe

L’utilisation des nombres complexes en géométrie fait partie du programme de terminale, maths expertes. Vous trouverez ci-dessous un petit mode d’emploi (soyons modeste, n’appelons pas ceci un cours !)

 

Rappels

Soit le nombre complexe \(z = a + ib.\) Son module est \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.\)

Si dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,,\overrightarrow u, \overrightarrow v)\) on considère le point \(A\) d’affixe \(z,\) nous avons l’égalité \(OA = |z|.\)

L’argument \(\theta\) de \(z\) est la mesure en radians de l’angle orienté \((\overrightarrow u, \overrightarrow{OM}).\)

 

Distance

On considère deux points \(A\) et \(B\) du plan complexe, d’affixes respectives \(z_A\) et \(z_B.\)

Alors \(AB = |z_B - z_A|.\)

Exemple. \(A\) et \(B\) ont pour affixes respectives \(-1 - 2i\) et \(3 + i.\) Calculons la distance \(AB.\)

\(AB = |3 + i + 1 + 2i| = |4 + 3i|.\)

D’où \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.\)

 

Angle

Toujours dans notre repère, on considère trois points \(A,\) \(B\) et \(C\) dont les affixes sont, vous l’avez deviné, \(z_A,\) \(z_B\) et \(z_C.\)

Un argument de \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) donne la mesure de l’angle orienté \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).\)

Comme \(\frac{AC}{AB} = |\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}|,\) on en déduit que si \(|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}| = 1\) alors le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A.\)

Les points \(A,\) \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) est un réel. Notez bien qu’il ne s’agit pas du module ! Si c’était le cas, cette propriété serait contradictoire avec la précédente.

Inversement, si \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) est un imaginaire pur, alors les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires (voir l’exercice sur le triangle).

 

Exemples

Exemple 1. Considérons trois points du plan muni d’un repère orthonormé : \(A\) d’affixe \(z_A = -1   -i,\) \(B\) d’affixe \(z_B = 2 +  i\) et \(C\) d’affixe \(z_C = 5 + 3i.\) Montrons qu’ils sont alignés.

Déterminons \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) (quoique pour déterminer un alignement, nous aurions pu choisir une autre mesure).

\(\frac{5 + 3i - (-1 - i)}{2 + i - (-1 - i)}\) \(=\) \(\frac{6 + 4i}{3 + 2i}\) \(=\) \(2\)

2 est un réel, donc les points \(A,\) \(B\) et \(C\) sont alignés.

Nous pouvons même affirmer que \(B\) est le milieu de \([BC].\) En effet, nous avons montré que \(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}} = 2\) donc \(\overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AB}.\) Un élève de seconde peut en conclure que \(B\) est le milieu de \([AC].\)

Exemple 2. Considérons trois points du plan muni d’un repère orthonormé : \(A\) d’affixe \(A = 2 + 2i,\) \(B\) d’affixe \(z_B = 2,5 + 5 i\) et \(C\) d’affixe \(z_C = 5+ 2,5i.\) Montrons que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A.\)

\(|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}|\) \(=\) \(\frac{|5 + 2,5 i - 2 - 2i|}{|2,5 + 5i - 2 - 2i|}\) \(=\) \(\frac{|3 + 0,5i|}{|0,5 + 3i|}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3^2 + 0,5^2}}{\sqrt{0,5 + 3i}}\) \(=\) \(1\)

Le triangle \(ABC\) est bien isocèle en \(A.\)

Exemple 3. Considérons trois points du plan muni d’un repère orthonormé : \(A\) d’affixe \(z_A = 1 + 2i,\) \(B\) d’affixe \(z_B = 4 + 5i\) et \(C\) d’affixe \(z_c = 1 + 4i.\) Déterminons l’angle \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).\)

Déterminons l’argument de \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}.\)

\(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{1 + 4i - 1 - 2i}{4 + 5i - 1 - 2i}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{2i}{3 + 3i}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{2i(3 - 3i)}{(3 + 3i)(3 - 3i)}\) (quantités conjuguées ; nous n’empruntons pas le chemin le plus court !)
\(\Leftrightarrow \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{6i - 6i^2}{9 - 9i^2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{6i + 6}{18}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac {1}{3} + \frac{1}{3}i\)

Le module est \(\sqrt{\frac{1}{3}^2 + \frac{1}{3}^2} = \frac{1}{\sqrt{18}},\) soit \(\frac{\sqrt{2}}{6}.\)

Factorisons par le module.

\(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{\sqrt{2}}{6}\left (\frac{6}{3 \sqrt{2}} + \frac{6}{3 \sqrt{2}} i \right) \)
\(\Leftrightarrow \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{\sqrt{2}}{6} \left( \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} i\right) \)

Quelles valeurs ont pour sinus et pour cosinus \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) ? Réponse : \(\frac{\pi}{4} (2 \pi).\)

L’angle cherché a pour mesure \(\frac{\pi}{4} (2\pi)\) (en radians, bien sûr).

Lorsque nous avons précisé que nous n’empruntions pas le chemin le plus court, nous aurions pu utiliser une propriété des arguments : \(\arg(\frac{z}{z’}) = \arg(z) - \arg(z’) (2\pi).\)

L’argument d’un imaginaire pur positif est \(\frac{\pi}{2} (2\pi).\) Si vous avez en tête le plan complexe et le cercle trigonométrique, ceci doit vous sembler évident. De même que l’argument de \(3 + 3i\) est \(\frac{\pi}{4} (2 \pi).\) Il est vrai que les valeurs de cet exercice se prêtent facilement à une représentation mentale. Ainsi \(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.\) Nous retrouvons bien l’angle \(\frac{\pi}{4} (2\pi).\)

Nous aurions aussi pu recourir à la forme exponentielle des complexes.

 

Cercle

Rappel : l'équation cartésienne d'un cercle dans le plan muni d'un repère orthonormé s’écrit :

\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\)

\(r\) est le rayon et les coordonnées du centre du cercle sont \((x_0\,;y_0)\).)

Dans le plan complexe, un cercle est donc l’ensemble des points d’affixe \(z\) tels que \(|z - z_A| = r,\) avec \(z_A\) centre du cercle.

L’équation paramétrique du cercle est \(z = z_A + re^{i \theta},\) un argument étant \(\theta.\)

Sous forme algébrique, on écrit :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = a + r\cos \theta }\\
{y = b + r\sin \theta }
\end{array}} \right.\)

Le cercle trigonométrique qui a pour centre \(O\) et pour rayon 1 s’écrit donc :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \cos \theta }\\
{y = \sin \theta }
\end{array}} \right.\)

Et là, vous faites le lien avec le programme de première !

Pendant que vous y êtes, vous pouvez faire l'exercice sur le cercle...