TIR et TIR multiple
On y va ou on n’y va pas ? Le staff s'interroge. Disposant à présent de toutes les prévisions utiles, la question est dès lors de savoir si cet investissement tant désiré sera rentable…
Taux interne de rentabilité
Plusieurs outils d'aide à la décision s’offrent à nous. Il y a bien cette bonne vieille Valeur Actuelle Nette (VAN), mais le choix du taux d’actualisation est une opération un peu hasardeuse, ou la détermination du délai de récupération, mais qui privilégie trop le court terme… D’où l’idée de considérer le taux non pas comme un paramètre défini a priori mais de déterminer, en fonction de l’investissement initial et des revenus attendus, le taux pour lequel la VAN est nulle. Ce taux (TIR ou TRI) sera ensuite comparé soit à une norme que l’on s’est fixée (l’équivalent du taux d’actualisation) appelée taux de rejet, soit aux TRI prévisibles dégagés par des investissements concurrents.
Précisons que nous traiterons ici des projets d'investissements physiques mais que les procédures de calcul sont les mêmes pour les investissements financiers (voir le taux actuariel). Une sélection d'actions fondée sur ce principe est une démarche bien connue en théorie financière, même si le terrain des actions cotées est souvent impraticable pour cause de volatilité excessive. Le TRI peut constituer ensuite un indicateur de rentabilité de portefeuille, délicat à mettre en œuvre lorsque les flux sont incessants (voir la rentabilité).
On ne trouve pas le TRI en résolvant simplement une équation. C’est par itérations successives qu’un programme permet de l’approcher au plus près. Mathématiquement, il s'agit d'une application du théorème de la bijection. Inutile de résoudre des équations polynomiales de degré n puisque n’importe quel tableur ou calculatrice vous offre votre TRI en moins d’une seconde sur écran (pour les curieux, voir formules de Galbrun et de Goury avec exemples sur « Mathématiques financières », M. Piermay, A. Lazimi & O. Heriel, Economica 1998).
Est-il besoin de l'ajouter, il s’agit d’un taux moyen sur une période donnée. Comme il est rare que la durée soit impérative (du moins pour les investissements physiques), on peut envisager plusieurs durées donc plusieurs TRI.
Le résultat d'un travail dépend toujours de l'outil utilisé. N'échappant pas à la règle, le TRI et la VAN peuvent conduire à des décisions divergentes. Le dossier soumis aux décideurs comprend certes le taux de rentabilité interne mais l’étude est plus étoffée que ça, question de prudence…
Exemple 1
Passons dès à présent à un premier exemple simple. Une entreprise acquiert une machine-outil qui générera des revenus pendant huit ans avant d’être revendue.
Avec un tableur, rien de plus simple. On utilise la fonction =TRI (version française) en plaçant la colonne des montants entre les parenthèses. Le résultat est immédiat : \(6,89\%.\)
Mais ne quittons pas déjà cet exemple trop rapide et agrémentons-le d’un petit supplément pédagogique. Il est possible de tester la VAN de cet investissement pour un certain intervalle de taux d’actualisation, mettons entre 0 et \(25\%.\) On obtient alors les résultats suivants :
Soit dit en passant, ce graphe a été réalisé avec Excel. Utilisation du type de graphique Nuage de points et non Ligne afin de gérer les pas différents.
On vérifie évidemment que la courbe croise l’axe des abscisses à la valeur du TRI puisque celui-ci correspond à une VAN nulle.
Cette courbe va servir de transition pour évoquer une limite du TRI. Un investissement peut se traduire par plusieurs flux négatifs échelonnés dans le temps. Dans ce cas, la courbe risque de ne pas être monotone et plusieurs TRI peuvent donc prétendre être les solutions (voir l'exemple suivant).
Exemple 2
Une entreprise de découpe et de filetage de poissons investit dans du matériel qui nécessitera diverses transformations trois ans plus tard (date à laquelle l’espèce traitée sera probablement protégée mais divers aménagements permettront alors l’adaptation à une autre pêche). Puis, après six années, l’entreprise devra fait face à de grosses dépenses de désinstallation.
Pour quels taux la VAN sera-t-elle égale à zéro ? On trouve deux valeurs positives : \(7,105\%\) et \(21,537\%\) environ. Voir ci-dessous la réalisation avec ZSGCalc (note : valeurs des abscisses multipliées par 10). La courbe traverse deux fois l’axe des abscisses, montrant une VAN nulle pour deux valeurs de TRI.
Formule : -300 + 200*(1+x)^(-1) + 160*(1+x)^(-2) - 50*(1+x)^(-3) + 100*(1+x)^(-4) + 100*(1+x)^(-5) + 80*(1+x)^(-6) + 80*(1+x)^(-7) + 60*(1+x)^(-8) - 500*(1+x)^(-9)
Or, Excel ne donne que le TRI de \(7,105\%.\) Donc, si un investissement se traduit par des flux négatifs pour d’autres périodes qu’en \(t_0,\) il est recommandé de conduire une étude plus poussée qu’une simple manipulation de tableur ou de calculatrice.
Limites
Si un projet se traduit par deux TRI, on écarte cet indicateur au bénéfice de la VAN.
D'ailleurs, on retient souvent la VAN quand il existe une contradiction entre plusieurs indicateurs. Voir à ce propos la page de comparaison ROI - VAN - TRI.
Le TRI peut se révéler un outil limité pour d'autres raisons. Nous avons vu un cas où il existe plusieurs solutions mais on peut aussi bien ne pas trouver de solution du tout.
Par ailleurs, le calcul du TRI repose implicitement sur l’hypothèse du réinvestissement des revenus au même taux (capitalisation des flux intermédiaires). Cette hypothèse, déjà tirée par les cheveux pour un investissement financier, devient impossible à tenir pour un investissement physique (on peut toutefois considérer qu’elle ne majore que légèrement le TRI qui reste en tout état de cause un bon outil de comparaison d’investissements). On peut contourner ce problème en utilisant le TRIM (taux de rendement interne modifié) : les flux positifs sont capitalisés au coût du capital et les flux négatifs sont actualisés au coût du financement.
