Fonction logarithme au bac
L’épreuve du bac S de juin 2016 en France métropolitaine comportait un exercice sur la fonction logarithme. Vous trouverez ci-dessous le sujet suivi d’un corrigé détaillé. Attention, à l’instar de toutes les corrections présentées sur ce site, elle ne vous donne pas un modèle de rédaction pour remporter fièrement le maximum de points mais elle vous fournit des explications (d'autres exemples d'extraits du bac S avec logarithmes en pages de calcul d'aire avec logarithme et d'exercice sur suite avec logarithme).
Exercice
- Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x - \ln(x^2 + 1)\)
1- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(f(x) = x.\)
2- Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\) que l’on admet.
3- Montrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à \([0\,;1],\) \(f(x)\) appartient à \([0\,;1].\)
4- On considère l’algorithme suivant :
| Variables | N et A entiers naturels |
| Entrée | Saisir la valeur de A |
| Traitement | N prend la valeur 0 Tant que N – ln(N² + 1) < A N prend la valeur N + 1 Fin tant que |
| Sortie | Afficher N |
a) Que fait cet algorithme ?
b) Déterminer la valeur \(N\) fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour \(A\) est 100.
Corrigé expliqué
1- On doit résoudre l’équation suivante :
\(x = x - \ln(x^2 + 1)\)
Résolution qui ne pose aucune difficulté.
\(\ln(x^2 + 1) = 0\) et comme ce n'est un secret pour personne que \(\ln 1 = 0\) on peut écrire…
\(x^2 + 1 = 1\)
\(⇔ x = 0\) donc \(S = \{0\}\)
2- Commençons par justifier le signe de la dérivée \(f'\) sur \(\mathbb{R}.\) Donc, dérivons \(f.\) Rappel : la dérivée de \(\ln u(x)\) a pour expression \(\frac{u'(x)}{u(x)}\).
\(f'(x) = 1 - \frac{2x}{x^2 + 1}\)
\(\Leftrightarrow f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1}\)
Votre sagacité vous a permis de repérer l’identité remarquable au numérateur. Empressons-nous d’en donner la forme factorisée.
\(f'(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}\)
Le dénominateur est strictement positif. On ne s’en occupe pas. Le numérateur étant un carré, il est positif lui aussi sauf si \(x = 1\) auquel cas il est nul. Ainsi la partie supérieure du tableau est expliquée.
En raison du lien entre sens d’une fonction et signe de sa dérivée, la flèche du tableau indique que \(f\) croît fièrement sur \(\mathbb{R}.\)
Reste à prouver que la limite en moins l’infini est \(- \infty.\) Remarquons que \(f\) est composée de \(x\) (dont la limite en moins l’infini est évidemment \(- \infty\) moins \(\ln(x^2 + 1).\) Étudions ce second terme. Lorsque \(x\) tend vers moins l’infini, son carré tend vers \(+ \infty,\) le fait de lui ajouter 1 ne change rien à l’affaire et la limite de la fonction logarithme à \(+ \infty\) est \(+ \infty.\) Moins l’infini moins l’infini, cette question 2 est décidément facile. Par somme :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - \ln ({x^2} + 1) )= - \infty \)
3- Nous avons montré que \(f\) est croissante sur \([0\,;1].\) Aux bornes de cet intervalle nous avons \(f(0) = 0 - \ln 1 = 0\) et \(f(1) = 1 - \ln 2.\)
Or \(1 - \ln2 > 0\) (la calculatrice donne \(\approx 0,307\). Donc \(f(x)\) appartient bien à \([0\,;1]\) pour \(x\) appartenant à \([0\,;1].\)
Note : vous pouvez aussi ne pas utiliser la calculatrice et rédiger une séduisante démonstration. Étant donné que \(\ln e = 1\) (\(e > 2\)) et que la fonction ln est strictement croissante, alors \(0 < \ln 2 < 1,\) donc \(1 - \ln 2 > 0.\)
4- a) On retrouve notre chère fonction mais elle est à présent définie sur l’ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels.
Pour une valeur donnée \(A,\) l’algorithme donne le plus petit entier \(N\) tel que \(f(N) > A.\) En effet, tant que la valeur renvoyée par l’algorithme est inférieure à \(A,\) la boucle continue de tourner…
b) Cette question revient à poser l’inéquation suivante :
\(x - \ln(x^2 + 1) > 100\)
Il n’est pas possible de la résoudre algébriquement. Il faut donc utiliser la calculatrice ! Là, plusieurs possibilités s’offrent à vous.
La plus simple consiste à tâtonner, ce qui risque d'être un peu long. L’emploi de la table est plus efficace.
Avec une TI-82 Advanced :
Vous pouvez également vous servir de la courbe représentative (touche trace) :
On découvre ainsi que \(x = 110.\)
Dernière solution, un programme :
