Exemples d'intégration par parties sur intégrales impropres
Voici une page d’exercices d’application de l’intégration par parties aux intégrales généralisées (ou impropres), en l’occurrence celles qui sévissent sur un intervalle infini…
Exercice 1 : la loi exponentielle
Il s’agit de trouver l’espérance de la loi exponentielle dont la fonction de densité est :
\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0{\;\rm{si}\;}x < 0}\\
{\lambda {e^{ - \lambda x}}{\;\rm{si}\;}x \geqslant 0}
\end{array}} \right.\)
Rappelons la formule de l’espérance.
\[E(X) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} \]
Donc nous cherchons la limite suivante :
\[\mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \int_0^a {x\lambda {e^{ - \lambda x}}dx} \]
Nous sommes en présence d’une structure multiplicative qui ne serait pas simple à intégrer directement. Sortons de notre grimoire la formule de l’intégration par parties :
\[\int_a^b {u(x)v'(x)dx = } \left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int_a^b {u'(x)v(x)dx} \]
Il est généralement plus simple de considérer une exponentielle comme \(v'(x)\) plutôt que \(u(x).\) Il s’ensuit…
\[\left[ { - x{e^{ - \lambda x}}} \right]_0^a - \int_0^a { - {e^{ - \lambda x}}dx = } - a{e^{ - a\lambda }} - \left[ {\frac{{{e^{ - \lambda x}}}}{\lambda }} \right]_0^a\]
Ceci nous amène à une expression un peu longue…
\( - a{e^{ - a\lambda }} - \frac{{{e^{ - a\lambda }}}}{\lambda } + \frac{1}{\lambda }\) \(=\) \(- {e^{ - a\lambda }}\left( {a + \frac{1}{\lambda }} \right) + \frac{1}{\lambda }\)
On détermine les limites suivantes :
\(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \left( { - {e^{ - a\lambda }}} \right) = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \left( {a + \frac{1}{\lambda }} \right) = + \infty \)
Par produit, la limite de ces deux termes est nulle (croissances comparées). Donc, par somme, on obtient une espérance de \(\frac{1}{\lambda}.\)
Mission accomplie.
Exercice 2 : compliquons
Résoudre cette intégrale de toute beauté :
\[\int_0^{ + \infty } {\ln \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\]
Comment faire apparaître une multiplication pour pouvoir intégrer par parties ? Il faut considérer que l’expression est multipliée par 1, qui est la dérivée de \(x.\) D’où ce grand principe des maths en général et de l’intégration par parties en particulier, celui de compliquer les choses pour finalement les rendre plus simples. Sachant que la dérivée du logarithme de \(u(x)\) est \(\frac{u'(x)}{u(x)},\) nous avons :
\[\left[ {x\ln \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right]_0^{ + \infty } - \int_0^{ + \infty } {x \times \frac{{ - \frac{{2x}}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}dx} \]
Occupons-nous d’abord du premier terme. Il est évident qu’en zéro, l’expression ne vaut rien (nous voulons dire : elle est égale à zéro). Mais la limite à l’infini nous laisse perplexe puisque nous sommes en présence d’une forme indéterminée \(0 \times \infty .\)
Nous passerons par les fonctions équivalentes. Il est de notoriété publique qu’en zéro, \(\ln (1 + x)\) est équivalent à \(x.\) Par conséquent, au voisinage de \(+\infty,\) nous avons :
\(\ln \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\) donc \(x\ln \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \sim \frac{1}{x}\)
Or, la limite à l’infini de la fonction inverse est 0. Donc, à quoi est égal le premier terme ? \(0 - 0 = 0.\) Passons à l’intégrale. Mais d’abord, simplifions cette expression particulièrement horrible.
\[x \times \frac{{ - \frac{{2x}}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = - \frac{2}{{{x^2} + 1}}\]
Voilà. Nous cherchons maintenant à résoudre quelque chose de beaucoup plus civilisé.
\[2\int_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} \]
Or, \(\frac{1}{x^2+1}\) n’est autre que la dérivée de la fonction arc-tangente.
La limite de cette fonction en \(+\infty\) est égale à \(\frac{\pi}{2}\) et \(\arctan 0 = 0.\) Donc :
\(2\left[ {{{\tan }^{ - 1}}x} \right]_0^{ + \infty } = \pi \)
On ne s’attendait pas forcément à résumer ces expressions compliquées de façon aussi concise…
