L'octaèdre régulier

Exercices sur un polyèdre

L’octaèdre est un polyèdre à huit faces. Lorsqu'il est régulier, ses faces prennent la forme de triangles équilatéraux. Il a six sommets et douze arêtes et c’est l’un des solides de Platon.

triangles

Il ne s’agit pas d’explorer les caractéristiques de l’octaèdre, ce qui serait bien loin de l’objet de ce site web. Le but était simplement de proposer des exercices de géométrie dans l’espace aux élèves du secondaire afin de s’entraîner à la construction en trois dimensions et à la mise en équations d’un problème. Quoiqu'aujourd'hui la géométrie en trois dimensions a disparu des programmes.

 

Exercice 1

Représenter un octaèdre en perspective cavalière avec un angle de 45° et un rapport \(k \approx 0,4.\)

 

Corrigé

Détaillons pas à pas la construction de l’octaèdre régulier en perspective cavalière.

D’abord, il faut construire le cube dans lequel l’octaèdre va s’insérer, puis indiquer le centre de chaque face. Ci-dessous, ils apparaissent au croisement des diagonales rouges.

construction

Ils seront les six sommets de l’octaèdre. Il faut donc les relier entre eux pour faire apparaître les arêtes du solide.

octaèdre

Il ne reste plus qu’à gommer les traits de construction et à offrir à notre œuvre un cadre qui lui est digne.

polyèdre

Si vous souhaitez voir des patrons d’octaèdre régulier :

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/octaedre.htm

 

Exercice 2

Supposons que l’octaèdre ci-dessus a été construit à partir d’un cube d’un mètre de côté. Quel est son volume ?

 

Corrigé

Ce solide se présente comme la juxtaposition de deux pyramides régulières réunies par leurs bases. Calculons l’aire d’une base, qui correspond à une coupe de l’octaèdre en son milieu. Cette base est bien sûr un carré puisque ses quatre sommets sont les milieux des côtés d’un carré.

carrés

Combien de cm mesurent chaque côté de la base ? Nous remarquons que ce second carré génère quatre triangles rectangles isocèles identiques dont les deux côtés égaux mesurent chacun 50 cm. Appliquons le théorème de Pythagore.

Soit \(x\) la longueur d’un côté de la base de la pyramide (hypoténuse). C'est donc aussi la longueur de chaque arête du polyèdre.

\(x\) \(=\) \(\sqrt{50^2 + 50^2}\) \(=\) \(\sqrt{5000}\) \(=\) \(50 \sqrt{2}\)

Par conséquent, l’aire de la base est égale à :

\(\mathscr{B}\) \(=\) \((50 \sqrt{2})^2\) \(=\) \(2500 \times 2\) \(=\) \(5000\) cm².

Nous avons vu que les deux sommets de pyramide étaient confondus avec deux centres de faces opposées du cube. Par conséquent, la hauteur d’une pyramide est de 50 cm et le volume d’une pyramide est de :

\(V\) \(=\) \(\frac{\mathscr{B} \times h}{3}\) \(=\) \(\frac{5000 \times 50}{3}\) \(=\) \(83\,333,333\) cm\(^3\).

Le volume de l’octaèdre est donc du double, soit \(166\,666,67\) cm\(^3\) (c’est-à-dire moins de \(17\%\) du volume du cube).

Note : plus généralement, le volume d’un octaèdre régulier est égal à :

\[V = \frac{x^3 \times \sqrt{2}}{3}\]

Vous trouverez un autre exercice sur l'octaèdre en page de parallélisme.

 

huit faces