Définition, patron et volume d'une pyramide
Chacun connaît la forme des pyramides en architecture. Mais quid des pyramides en mathématiques ? Le lien n’est pas aussi évident qu’on pourrait le croire. Les premières pyramides égyptiennes étaient à degrés et ne sont pas pyramidales au sens géométrique. En revanche, certaines bizarreries n’ayant jamais été l’œuvre d’architectes fous (du moins pas encore) n’en sont pas moins, mathématiquement, des pyramides.
Définitions
Une pyramide est un solide dont une face est un polygone (la base) et dont les autres faces sont des triangles ayant un sommet en commun (les faces latérales).
Ainsi la base n’est pas toujours un carré. Ce peut être n’importe quel quadrilatère convexe mais aussi un triangle (la pyramide est alors un tétraèdre), un pentagone, un hexagone, etc. Une pyramide possède autant de faces latérales que sa base a de côtés.
La hauteur d’une pyramide de sommet \(S\) est le segment \([SH]\) perpendiculaire au plan qui contient la base et sur lequel se trouve le point \(H.\) Attention, \(H\) ne fait pas toujours partie de la base ! D’où l’existence de pyamides assez curieuses (ci-dessous, le plan représenté en gris contient la base en vert).
Si la base est un polygone régulier (côtés égaux, angles égaux) et si la hauteur a pour extrémité le centre du cercle cisconscrit à sa base, la pyramide est régulière.
Patrons
Pour réaliser le patron d’une pyramide, il suffit de partir de la base puis d’ajouter les triangles (faces latérales) en veillant à ce que les côtés qui deviendront des arêtes soient bien de même longueur. Ci-dessous figure le patron d’une pyramide régulière de base carrée.
Il existe d’ailleurs plusieurs patrons possibles pour cette même pyramide. En voici deux.
Et à présent le patron d’une pyramide irrégulière. Il s’agit de la pyramide inclinée représentée plus haut en 3D (réalisée avec Geogebra).
Volume
C’est la même formule que celle du volume du cône de révolution : le tiers de la hauteur que multiplie l’aire de la base (voir la page d'initiation à la programmation sur Casio).
Exercice
\(ABCDS\) est une pyramide régulière dont la base \(ABCD\) est carrée. \(AB = 3\) m. Soit \(M\) le milieu de \([AB].\) \(SM = 6\) m (\(SM\) est appelé apothème de la pyramide, à ne pas confondre avec sa hauteur).
Calculez la surface et la hauteur de cette pyramide.
Corrigé
Calcul de la surface : on sait que la base est carrée et que la pyramide est régulière. Les quatre surfaces latérales sont donc des triangles isocèles de mêmes mesures. On sait que la hauteur de chaque triangle mesure 6 m et sa base 3 m. Or, la surface d’un triangle est égale à la moitié de sa base que multiplie sa hauteur et la surface d’un carré est égale au carré de la longueur de l’un de ses côtés.
Donc la surface d’une face latérale est égale à \(0,5(6 × 3) = 9\) m² et celle de la base à \(3 × 3 = 9\) m².
La surface totale de la pyramide est égale celle de la somme de ses quatre faces latérales et de sa base, soit \((4 × 9) + 9 = 45\) m².
Calcul de la hauteur : on sait que la pyramide est régulière de base carrée \(ABCD.\) Sa hauteur est donc un segment dont les extrémités sont le sommet \(S\) et un point \(P\) situé au centre du carré \(ABCD.\) Ainsi \(SPM\) forme un triangle rectangle en \(P.\)
Or, selon le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés d’un triangle rectangle. Donc \(SM^2 = SP^2 + PM^2.\) Comme \(ABCD\) mesure 3 m de côté, son centre se situe perpendiculairement à 1,5 m du milieu de l’un des côtés (par exemple \(M\)).
Ainsi \(SP\) doit vérifier l’égalité suivante : \(6^2\) \(=\) \(SP^2 + 1,5^2\)
\(⇔ 36 = SP^2 + 2,25\)
\(⇔ SP^2 = 33,75\)
\(⇔ SP \approx 5,81\)
La hauteur de la pyramide \(ABCDS\) est d’environ 5,81 m.
(non demandé : son volume est d’environ 17,43 m³).
