Épreuve et schéma de Bernoulli
Rassurez-vous, derrière ce titre qui pourrait sous-entendre un contenu compliqué se cache une notion très simple.
En France, le schéma de Bernoulli fait partie du programme de maths de terminale générale et des premières technologiques (curieusement).
Pour information, Bernoulli est le nom d’une « dynastie » de mathématiciens suisses. Le premier d'entre eux, Jacques, fut celui qui donna son nom aux concepts expliqués ci-dessous. En 1685, il découvrit la loi des grands nombres, véritable pilier de la théorie des probabilités, comme le commémore le timbre suisse ci-dessous. D'ailleurs, cette loi a longtemps été appelée théorème d'or de Bernoulli. Cela étant, les multiples découvertes de ce génie ont largement dépassé le cadre des probabilités.
Profitons-en pour donner la définition d'une probabilité selon Bernoulli : c'est le degré de certitude avec lequel un événement peut se produire dans le futur.
L’épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles : soit oui ou non, soit pile ou face, soit (très souvent) succès ou échec, etc (variable binaire, donc de Bernoulli). Chacune de ces issues a une probabilité déterminée de survenir. La loi de probabilité associée à l’expérience est une loi de Bernoulli.
Le schéma de Bernoulli
Des épreuves de Bernoulli peuvent être répétées \(n\) fois à la suite. Si elles sont non seulement identiques entre elles mais aussi indépendantes les unes des autres, on parle de schéma de Bernoulli.
Ce dernier est représenté par un arbre de dénombrement et, en affectant des probabilités aux issues, par un arbre pondéré. Chaque embranchement se sépare donc en deux branches et la somme des deux probabilités correspondantes est chaque fois égale à 1.
Si la même expérience est répétée n fois, alors on observe une variable aléatoire \(X\) qui est égale au nombre de succès (donc un entier compris entre 0 et \(n\)).
La probabilité que cette variable aléatoire prenne un nombre donné \(k\) s’écrit \(P(X = k).\) Cette notation est particulièrement utilisée dans les applications de la loi de Bernoulli répétée de façon identique et indépendante (loi binomiale au programme de terminale). Voir l’exemple 3 ci-dessous.
Mais n’anticipons pas. Explorons plutôt des exemples progressifs.
Exemple 1
Dans un poulailler se trouvent dix poussins (jaunes pour la moitié, les autres étant noirs). On en prend un à l'aveugle puis, sans le remettre dans le poulailler, on en tire un autre. On cherche la probabilité d’avoir pris deux poussins jaunes. S’agit-il d’une épreuve de Bernoulli ?
Réponse : non. Pour le premier poussin, on a une chance sur deux qu’il soit jaune. Mais ce n’est pas le cas pour le second : soit le premier était jaune et l’on n’a plus que quatre chances sur neuf, soit il était noir et l’on a alors cinq chances sur neuf. Les deux épreuves ne sont pas indépendantes puisqu’il n’y a pas remise du premier poussin dans le poulailler. Cette suite de deux épreuves aléatoires ne correspond donc pas à un schéma de Bernoulli.
Exemple 2
On lance deux fois de suite un octaèdre régulier qui possède une face rouge et sept faces vertes. Décrire l’univers des possibles \(Ω.\) S’agit-il d’une épreuve de Bernoulli ? Si oui, la représenter. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois la face rouge (on notera \(X\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de faces rouges obtenues) ?
Réponse : il s’agit d’une expérience aléatoire qui a deux issues possibles (rouge ou vert) et qui est répétée à l’identique. De plus, les deux épreuves sont indépendantes : contrairement à l’exemple précédent, la première épreuve ne modifie en rien la seconde. Nous avons bien affaire à un schéma de Bernoulli.
\(Ω\) \(=\) \(\{(V,V)\,; (V,R)\,; (R,V)\,; (R,R)\}\)
L’arbre pondéré ci-dessous est réalisé avec le logiciel gratuit WxGéométrie (sans doute le logiciel le plus pratique pour réaliser un arbre !).
\(P(X = 2)\) \(=\) \((\frac{1}{8})^2\) \(=\) \(\frac{1}{64}.\) Il y a une seule chance sur 64 d’obtenir deux fois la face rouge.
Exemple 3 (en route vers la loi binomiale)
Soit l’arbre suivant. Le succès est indiqué par un \(S.\) L’évènement contraire (échec) est noté \(\overline{S}.\)
Note : les instructions ont été volontairement laissées sur la capture d’écran ci-dessous au cas où vous souhaiteriez réaliser un arbre pondéré avec WxGéométrie.
Décrit-il un schéma de Bernoulli ? Quelle est la probabilité d’obtenir un seul succès ?
Réponse : les épreuves n’ont que deux issues possibles, elles sont identiques et indépendantes (mêmes probabilités affectées aux mêmes branches). C’est bien un schéma de Bernoulli.
Nous comptons huit branches à droite de l’arbre (on les appelle parfois les « feuilles »). Seules trois d’entre elles montrent un unique succès : la quatrième, la sixième et la septième (en partant du haut). Comme il s’agit d’un schéma de Bernoulli, elles sont affectées des mêmes probabilités, c’est-à-dire \(0,2\;\rm{(1\; succès)}\) \(\times\) \(0,8^2\;\rm{(2\; échecs)}\) \(=\) \(0,128.\) Donc \(P(X = 1)\) \(=\) \(3 × 0,128\) \(=\) \(0,384.\)
