Voici une loi de probabilité qui sert souvent à modéliser des distributions. C’est le logarithme de la variable observée (évidemment toujours positive) qui suit une loi normale, et non la variable elle-même.

Si l’on utilise habituellement le logarithme népérien, il peut toutefois arriver qu’un ajustement avec un logarithme décimal se révèle de meilleure qualité (on ne verra pas ce cas ici).

Une distribution est modélisable par la loi log-normale (ou loi de Galton) lorsque les effets de nombreux facteurs indépendants se multiplient entre eux.

L’espérance est la suivante :

Les paramètres m et σ sont ceux de la loi normale.

La variance se présente ainsi :

La médiane est e^m et le mode est exp (m – σ²).

La distribution est asymétrique. Le skewness se présente ainsi :

La kurtosis normalisée est la suivante :

La courbe représentative de sa fonction de densité pour m = 1 et σ = 1 (réalisation sur le logiciel gratuit SLGallery).

L’ajustement d’une distribution statistique par une loi log-normale est vérifiable par des tests non paramétriques et par la droite de Henry. On reporte sur cette dernière les logarithmes de X en abscisses, à moins de disposer de papier gausso-logarithmique auquel cas cette formalité est inutile.

Webographie : http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html