Introduction à la loi log-normale
Voici une loi de probabilité qui sert à modéliser des distributions dans des domaines variés (finance, hydrologie, biologie...), en particulier lorsque les effets de nombreux facteurs indépendants se multiplient entre eux.
Présentation
Une distribution est modélisable par la loi log-normale (ou loi de Galton) lorsque c'est le logarithme de la variable aléatoire \(X\) (évidemment toujours positive) qui suit une loi normale, et non la v.a elle-même.
Soit \(X \leadsto \mathscr{N}(m\,;\sigma)\) et soit \(Y = \ln X.\)
Les mêmes paramètres \(m\) et \(\sigma\) servent à définir une loi log-normale.
\(Y \leadsto {\rm{{Log}}} \mathscr{N}(m\,;\sigma)\)
Sa fonction de densité s'écrit :
\(f(x)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{1}{\sigma x \sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{1}{2} \left( \frac{\ln x - m}{\sigma} \right) ^2 \right)}\)
Paramètres
L’espérance est la suivante :
\(E(Y) = \exp \displaystyle{\left(m + \frac{\sigma ^2}{2} \right)}\)
La variance se présente ainsi :
\(V(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{e^{2m + \sigma ^2}(e^{\sigma ^2} - 1)}\)
La médiane est \(e^m\) et le mode est \(\displaystyle{e^{m - σ^2}}.\)
La distribution est asymétrique. Le skewness se présente ainsi :
\(\gamma_1\) \(=\) \(\displaystyle{e^{\sigma ^2}+2 \sqrt{e^{\sigma ^2}-1}}\)
La kurtosis normalisée est la suivante :
\(\gamma_2\) \(=\) \(\displaystyle{e^{4 \sigma^2} + 2^{3\sigma ^2} + 3e^{2 \sigma ^2} - }6\)
Représentation graphique
La courbe représentative de sa fonction de densité pour \(m = 1\) et \(σ = 1\) (réalisation sur le logiciel gratuit SLGallery).
Tests
L’ajustement d’une distribution statistique par une loi log-normale est vérifiable par des tests non paramétriques et par la droite de Henry. On reporte sur cette dernière les logarithmes de \(X\) en abscisses, à moins de disposer de papier gausso-logarithmique auquel cas cette formalité est inutile.
Variante
Bien que le logarithme népérien soit habituellement employé, il peut arriver qu’un ajustement avec un logarithme décimal se révèle de meilleure qualité.
Webographie : http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html
