Il ne sera pas question ici des médianes qui partent de l'angle d'un triangle pour terminer leur course au beau milieu du côté opposé et dont le point de rencontre est le centre de gravité. Non, cette médiane-là est statistique et n'a pas grand chose à voir avec son homonyme géométrique...

Posons le décor : on observe une distribution à une variable. Cette variable statistique est quantitative.

La médiane

La médiane correspond au deuxième quartile : si l’on trie les données par ordre croissant (ou décroissant, d’ailleurs), il s'agit de la valeur prise par l’observation du milieu (ou à la moyenne des deux valeurs du milieu si le nombre d’observations est pair).

Donc, lorsque la variable est discrète, par exemple une note entière sur 10, la médiane est souvent une valeur observée tandis que la moyenne a de bonnes chances d'être un nombre décimal. Ainsi, la notion de médiane est un peu plus concrète que celle de moyenne.

La médiane est un indicateur de position centrale beaucoup plus robuste aux erreurs et aux valeurs bizarres que la moyenne. À titre d’exemple, on s’intéresse rarement à la rémunération moyenne d’un effectif hétérogène puisque quelques revenus très élevés vont « tirer » cet estimateur vers le haut. La rémunération médiane est beaucoup plus pertinente. En entreprise, les médianes constituent des indicateurs dans de nombreux tableaux de bord.

Malgré cette qualité, la médiane est beaucoup moins féconde que la moyenne pour construire les différents outils statistiques. Que l'on songe au succès de la régression linéaire simple, fondée sur la moyenne, par rapport à l'introuvable méthode de Theil, fondée sur la médiane...

Un minimum de bon sens est tout de même attendu de l'analyste : on ne s’intéresse pas à la médiane d’une variable quantitative discrète si elle présente trop souvent une ou deux valeurs. Prenons l’exemple de la progéniture des espèces animales. Le nombre médian observé chez un échantillon de chiennes n’a pas grand intérêt si bon nombre d’entre elles n’ont jamais procréé. Le mode peut en revanche être utilisé. En revanche, pour les espèces sauvages, la médiane signifie quelque chose.

Lorsqu'on a à faire à des classes de valeurs, soit on utilise la notion de classe médiane, soit on détermine UNE valeur médiane par interpolation linéaire.

La médiane est aussi le paramètre-clé lorsque les valeurs sont ordinales. Ce type de variable est très fréquent dans les études marketing. Mais si les numéros d'ordre sont regroupés en classes, il est ici impossible de retenir une VALEUR médiane. On recherche forcément une CLASSE médiane.

Sur Excel, on utilise soit la fonction MEDIANE(données), soit la fonction QUARTILE(données;2).

L'écart médian est la médiane des écarts (en valeur absolue) par rapport à la moyenne ou à la médiane.

La médiane pondérée

Enfin, on utilise dans quelques cas rares la médiane pondérée (par exemple pour certains indices des prix qui cherchent à minimiser les valeurs aberrantes). Les observations sont a priori affectées de poids. On classe ces observations par ordre croissant mais au lieu de retenir celle qui sépare l’effectif en deux parties égales, on retient celle qui partage la masse des poids en deux (en l’occurrence, chaque article ayant une pondération différente dans le panier du consommateur, on retient comme médiane la variation de prix de l’article qui se situe à 50 % du volume du panier).

La médiale

Beaucoup moins utilisée que la médiane, elle trouve son utilité lorsqu’un montant global, par exemple une masse salariale, est partagé par un effectif. On s’intéresse cette fois-ci à la valeur médiane de la distribution de la variable et non de l’effectif. Graphiquement, elle correspond à l’ordonnée 0,5 d’une courbe de Lorentz. C’est alors la rémunération du salarié qui permet d’atteindre la moitié de la masse salariale.

Exemple

Voici les rémunérations de dix-sept individus classés par ordre croissant de salaire.

Le salaire médian est celui du 17^ème individu, en l’occurrence M. Chat : 1 600. Si l’on coupe la masse des salaires en deux, c’est-à-dire à 17 170, on constate que la médiale se trouve quant à elle entre MM. Daim et Cheval (soit environ 2 000, par interpolation). Pour sa part, le salaire moyen s’établit à 2 020.

Voir aussi l'exemple détaillé en page exercice sur série discrète où la médiane est déterminée grâce aux fréquences cumulées (à l'attention des élèves de seconde et de première).

Tests

La qualité de robustesse de la médiane et son importance sur les données ordinales font que ce paramètre est utilisé dans le cadre de certains tests comparatifs (et notamment le test de la médiane).