Une introduction à la médiane

Médiane : définition et exemples

En fin de collège, un élève doit savoir ce qu’est une médiane. Cette notion statistique est revue en seconde. Ensuite, les statistiques ne sont plus étudiées en filière générale. Ce qui n’est absolument pas une raison pour envisager une obsolescence programmée : vous pouvez tout à fait rencontrer cette notion élémentaire dans la presse grand public.

Si vous faites des études supérieures ou si vos activités professionnelles vous font à nouveau croiser son chemin, la page médiane et médiale vous donnera davantage de précisions que celle-ci, rédigée pour rafraîchir la mémoire d’élèves de seconde.

Définition

La médiane (notée Me) d’une série statistique de \(N\) valeurs rangées par ordre croissant est la valeur telle que la moitié des individus (ou unités statistiques) présentent une valeur qui lui est inférieure et l’autre moitié des individus qui ont une valeur supérieure.

Note : l’adjectif associé est « médian ». On parle d’individu médian d’une population.

Alors attention à vos commentaires si vous devez analyser une série statistique : n’employez pas le mot « moyenne » lorsqu’il est question de médiane !

La médiane est donc un paramètre de position centrale, comme la moyenne, mais plus intéressant qu'elle lorsque la série présente des valeurs très faibles ou très élevées.

Séries discrètes

Si \(N\) est impair, la médiane est la valeur centrale. C’est le cas le plus simple. Vos données sont ordonnées et l’individu qui nous intéresse est le numéro \(\frac{N+1}{2}\).

Exemple : on mesure 27 papillons (des écailles martrées, si ça vous dit quelque chose). Les relevés figurent dans le tableau ci-dessous.

On vérifie que \(2+5+10+7+3=27.\)

La médiane correspond au papillon n°\(\frac{27+1}{2} = 14.\) Celui-ci mesure 54 mm. En effet, si 7 papillons mesurent moins de 54 mm, ils sont 17 à mesurer moins de 55 mm. Donc le quatorzième mesure 54 mm.

La taille médiane s’établit à 54 mm (et non pas 14 !).

Si vous déterminez une médiane avec une calculatrice, ne vous souciez pas de trier vos données. Votre petit bijou technologique s’en chargera (voir les pages statistiques avec TI et statistiques avec Casio).

Si \(N\) est pair, la médiane est la moyenne entre les valeurs des individus \(\frac{N}{2}\) et \(\frac{N}{2} + 1.\) Il est donc possible qu’elle tombe entre deux valeurs et ne corresponde à rien de réel.

Soit vingt foyers. Les nombres d’enfants par famille font l’objet du tableau ci-dessous.

\(N\) est pair. \(\frac{N}{2} = 10\) et \(\frac{N}{2}+1 = 11.\) On doit donc observer la valeur entre le foyer n°10 et le foyer n°11. Hélas, ces deux familles n’ont pas le même nombre d’enfants : un seul pour le foyer 10 et deux pour le foyer 11. Donc Me \(=\) \(\frac{1+2}{2} = 1,5.\)

Commentaire : la moitié des foyers considérés n’a soit aucun enfant soit un enfant unique tandis que l’autre moitié a au moins deux enfants.

Série continue

Nous avons exploré des séries discrètes. Dans l’enseignement secondaire, si vous disposez de séries continues, vous pouvez déterminer une médiane en traçant un polygone des fréquences. Comme ce type de recherche ne figure dans aucun programme officiel, c’est à titre d’exercice que vous pouvez rencontrer ce type d'analyse.

Nous partons d’un tableau dont les valeurs sont présentées sous forme de classes. Nous déduisons des effectifs les fréquences cumulées (l’étape intermédiaire étant soit les fréquences, soit les effectifs cumulés). Ceci nous permet de tracer le polygone des fréquences cumulées. Les valeurs de l’axe des ordonnées sont donc comprises entre 0 et 1. Il suffit alors de déterminer graphiquement l’antécédent de 0,5.

Un exemple figure sur la page consacrée aux séries continues. Prenons toutefois un autre exemple ici.

Soit un échantillon de papillons. Cette fois, ce sont des grands sylvains. Leurs tailles figurent dans le tableau ci-dessous. À partir des deux premières lignes du tableau, nous avons calculé les deux suivantes. Les fréquences cumulées sont arrondies à deux décimales.

Pour tracer le polygone des fréquences cumulées, on marque toutes les bornes des classes dans un repère puis on les relie avec des segments de droite. Ci-dessous, l’opération a été réalisée avec GeoGebra.

Ensuite, on se positionne sur l’axe des ordonnées, valeur 0,5 (en rouge), on se déplace horizontalement jusqu’à rencontrer le polygone puis on plonge verticalement sur l’axe des abscisses où la médiane nous attend à bras ouverts. Ici, elle est égale à environ 72,5.