Des applications du théorème de la bijection

Applications du TVI à la gestion

Le théorème de la bijection (ou des valeurs intermédiaires, alias TVI) est enseigné en classe de terminale : une fonction \(f\) continue sur un intervalle \([a\,;b]\) de \(\mathbb{R}\) atteint toutes les valeurs comprises entre \(f\) et \(f(b).\) Appliqué à une fonction strictement croissante ou décroissante sur un intervalle, il affirme qu'elle ne prend qu’une seule valeur \(y\) pour n’importe quel antécédent \(x.\) Énoncé ainsi, c’est un peu comme si l’on vous disait qu’en voyageant de Paris à Marseille par l’autoroute, vous ne passerez qu’une seule fois par Lyon.

Utilité

Toutefois, il existe des applications assez diverses de ce théorème en économie et en gestion. En finance, l’application la plus usuelle est sans doute la recherche d’un taux interne de rentabilité (TIR). Hormis cette utilisation (qui bien souvent est effectuée sans connaître ce théorème somme toute très intuitif), les exemples et les liens de cette page sont surtout destinés aux élèves de terminale.

Le TVI est utilisé dans des situations où un calcul ne donnerait pas directement un résultat et où il faut chercher une valeur approchée à l’aide d’une calculatrice. Ceci ne signifie pas qu’il ne s’applique pas aux autres situations : pour savoir où la parabole représentative d’une fonction trinôme coupe l’axe des abscisses, il suffit de calculer les racines, quand bien même le TVI s’applique à tous les intervalles qui n'incluent pas l’extremum.

Applications directes

Une application directe est la recherche de la valeur pour laquelle une fonction s’annule (ou, le cas échéant, là où cette fonction prend une autre valeur que 0). La recherche d’un TIR correspond à ce cas de figure.

Un autre exemple est donné par l’épreuve de maths du bac ES de mars 2009, Nouvelle-Calédonie. Il s’agit de la recherche d’un seuil de rentabilité. Extrait :

Le résultat (recette – coût), en milliers d’euros, obtenu par la vente de \(x\) centaines d’objets est :

\(R(x) = 0,1x - e^{-0,5x+0,4}\)

a) Étudiez les variations de \(R\) sur l’intervalle \([0\,;+∞[.\)
b) Montrer que l’équation \(R(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([0\,;+∞[.\) Déterminer un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
c) En déduire la quantité minimale d’objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets.

a) La détermination de la dérivée conduit à l'expression suivante...

\(R'(x) = 0,1 + 0,5e^{-0,5x + 0,4}\)

L’exponentielle étant toujours positive, cette dérivée l’est également. Donc \(R\) est strictement croissante.

b) Voyons quelles valeurs sont prises par \(R\) aux bornes de son ensemble de définition.

\(R(0) = -e^{-0,4}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } R(x) = + \infty \)

Comme \(R(0) < 0,\) comme à l’infini \(R(x) > 0\) et comme \(R\) est continue et strictement croissante, alors il existe une valeur \(\alpha\) pour laquelle \(R\) est nulle. À l’aide d’une calculatrice, on trouve \(3,12 < \alpha < 3,13.\)

c) La valeur \(x\) exprime des centaines d’objets. Donc, la quantité minimale à produire pour dégager un bénéfice s’établit à 313 objets.

Voir aussi la page d'exercices sur fonction exponnetielle (extraits d'une épreuve de bac ES).

Croisement entre deux courbes

Un exemple de croisement entre deux courbes figure en page d'exercice sur les surplus. Si les fonctions monotones d’offre et de demande ont des expressions qui ne permettent pas de poser une égalité entre elles, il est plus simple de poser une troisième fonction obtenue en soustrayant l’une à l’autre (principe de la recherche des positions relatives de courbes). Là où cette dernière s’annule, l’offre et la demande s’équilibrent puisque leur écart est nul. Le prix d’équilibre est alors déterminé grâce au TVI.

Recherche d’un extremum

Le maximum ou le minimum global ou local d’une fonction se situe là où sa dérivée s’annule. Mais l’expression de cette dérivée peut être trop compliquée pour qu’une équation permette d'établir exactement là où elle est égale à zéro. Là aussi, une recherche à tâtons peut se révéler nécessaire…

En page coût marginal, c’est ainsi que le volume de production qui minimise un coût moyen est calculé.

L’épreuve de maths du bac ES de Pondichéry en 2011 comportait quant à elle la recherche d’un bénéfice maximum.

On admet que la recette \(R(x)\) (en milliers d’euros) résultant de la vente de \(x\) centaines de litres de médicament, est définie sur \([0,25\,;5]\) par \(R(x) = 1,5x\) (…). La fonction de coût total \(C_T\) est définie sur l’intervalle \([0,25\,;5]\) par \(C_T(x)\) \(=\) \(x^2 - 2x \ln x\)

1. Justifier que le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé par le laboratoire pour \(x\) centaines de litres commercialisés, est donné par  :

\(B(x) = 1,5x - x^2 + 2x \ln x\)

(…) 2. On note \(B’\) sa fonction dérivée (…). \(B’(x) = 2 \ln x - 2x + 3,5\)

L’énoncé indiquait alors le tableau de variation de \(B’\) et demandait une démonstration que \(B’(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([0,25\,;5].\) On devait en déduire le tableau de variation de la fonction \(B\) sur l’intervalle \([0,25\,;5].\)

Pour quelle quantité de médicament commercialisé le bénéfice est-il maximal ? (on donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.

Aucune difficulté pour répondre à la première question puisqu’il suffit de poser \(B(x) = R(x) - C_T(x).\) La dérivée était donnée. Il fallait vérifier ce résultat (nous vous en laissons le soin).

Nous ne reproduisons pas le tableau de variation de \(B’\) qu’il est de toute façon aisé de construire. Comme \(B’’(x) = \frac{2}{x} - 2,\) c’est en 1 que notre dérivée admet un maximum et celui-ci s’établit à 1,5. \(B’(0,25) \approx 0,227\) et \(B’(5) \approx -3,281.\)

Par conséquent, \(B’\) ne s’annule jamais entre 0,25 et 1 mais, entre 1 et 5, elle est nulle pour une valeur donnée dans la mesure où elle est strictement décroissante entre la valeur positive de 1,5 et la valeur négative de -3,281.

La calculatrice indique 2,77 environ. Le bénéfice est donc maximal lorsque 277 litres de médicaments sont commercialisés. \(B(2,77) \approx 2,1265.\) Il s’élève donc à 2 127 €.