Les accroissements finis

Théorème de Rolle et inégalité des accroissements finis

Quelques notions d'analyse de niveau bac  + 1...

 

Le théorème de Rolle

Toute cette histoire commence par une évidence. Vous avez deux réels, mettons \(a\) et \(b\) pour ne pas paraître trop original, avec \(b > a\) comme de bien entendu. Entre ces deux-là, une fonction continue et dérivable \(f\) est définie. Eh bien si \(f(a) = f(b),\) il existe au moins une valeur \(c\) appartenant à l'intervalle \(]a\,;b[\) pour laquelle \(f’(c) = 0.\)

Rappelons que le nombre \(f(c)\) est un maximum local de \(f\) s’il existe un intervalle ouvert contenant \(c\) tel que \(f(x)\) est inférieur ou égal à \(f(c),\) et un minimum local si c’est le contraire. La dérivée de la fonction s’annule en tout extremum, global ou local.

Pas de quoi fouetter un chat. Si la courbe représentative de la fonction est horizontale entre \(a\) et \(b,\) la dérivée est nulle Si elle croît puis retombe (ou l’inverse), il existe un extremum avec tangente horizontale. Si elle zigzague, la dérivée de la fonction s’annule plusieurs fois sur le parcours.

Quiz : le théorème de Rolle s'applique-t-il à la fonction \(f\) exprimée comme suit sur l'intervalle \([-2\,;2]\) ?

\[f(x) = \frac{2}{(x-1)^2}\]

Réponse : bien sûr que non ! La fonction n'est pas définie si \(x = 1.\)

 

Le théorème des accroissements finis

Si la fonction \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et dérivable sur \(]a\,;b[,\) alors il existe un réel \(c\) appartenant à \(]a\,;b[\) tel que \(f(b) - f(a) = (b - a)f’(c).\) C’est moins intuitif que le théorème de Rolle mais c’est pourtant grâce à ce dernier que le théorème des accroissements finis se démontre.

Nous ne sommes plus dans la situation où \(f(a) = f(b).\) On a fait « pivoter » la situation précédente et on démontre qu’entre les points \(A\) et \(B\) de la courbe représentative (d'abscisses \(a\) et \(b\)), il existe un point \(C\) qui admet une tangente parallèle à la droite qui joint les points \(A\) et \(B\). Les connaissances mathématiques qui permettent de comprendre ce mécanisme sont acquises en classe de première. Ce n'est donc pas très compliqué... Reformulons l'expression de \(f'(c)\) :

\[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Il apparaît bien que le coefficient directeur de la tangente en \(C,\) donné par \(f'(c),\) est le même que celui de la droite \((AB).\)

pivotement

Une conséquence est d'approcher \(f(b)\) si la valeur \(f(a)\) est connue, sachant que l'erreur d'approximation est égale à \((b - a)f'(c).\)

Exemple. Déterminons \(\ln 1,1.\)

Ici, \(f\) est la fonction logarithme népérien. \(f'(c)\)est donc égal à \(\frac{1}{c},\) \(b = 1,1\) et si \(a = 1\) on a bien une valeur connue, en l'occurrence \(f(a) = 0.\)

Donc \(\ln 1,1 = (1,1 - 1) × \frac{1}{c} + 0 = \frac{0,1}{c}.\)

On sait que \(c \in ]1\,; 1,1[,\) ce qui veut dire que l'erreur maximale est de \(\frac{0,1}{1},\) soit 0,1. L'erreur minimale est de \(\frac{0,1}{1,1},\) soit 0,091. Donc, \(\ln 1,1 \in ]0,091\,; 0,1[.\)

Bien sûr, on peut prendre d'autres exemples avec la fonction \(\ln\) mais plus on s'éloigne de 1, moins l'intervalle sera précis...

Les développements limités de Taylor permettent des approximations souvent meilleures.

 

L’inégalité des accroissements finis

Nous avons toujours notre fonction \(f\) continue et dérivable. Soit \(m\) et \(M\) deux réels. On montre que si \(m \leqslant f'(x) \leqslant M,\) alors \(m(b - a) \leqslant f(b) - f(a) \leqslant M(b - a).\)

Autrement dit, on peut encadrer une fonction en utilisant sa dérivée.

Ce théorème est surtout utile lorsqu’on a peu d’information sur la fonction. On peut alors la situer plus ou moins approximativement.

Vous êtes dubitatif. Alors étudions un exemple.

Supposons une fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par \(f(0) = 1\) (il s’agit de la \(f(x) = \frac{1}{1 + x}\), mais faites comme si vous l'ignorez). A priori, on ne sait donc pas grand-chose.

Appliquons la formule de l’inégalité des accroissements finis sur un segment \([0\,; x].\) Nous avons \(m = -1\) et \(M = 0.\) De plus, les bornes du segment sont \(a = 0\) et \(b = x.\) Il n’y a plus qu’à remplacer les paramètres de la formule.

\(-1(x - 0) \leqslant f(x) - f(0) \leqslant 0(x - 0).\)

Donc \(-x \leqslant f(x) - 1 \leqslant 0.\)

On ajoute 1 à tous les termes de l’inégalité et on en conclut que la courbe représentative de \(f\) est au-dessus de la droite d'équation \(y = -x + 1\) et au-dessous de la droite d'équation \(y = 1.\)

C’est donc avec très peu d’informations qu’on a réussi à remonter jusqu’à la fonction, non pour connaître son expression (Sherlock Holmes n’y serait pas parvenu non plus), mais pour la cerner autant que faire se peut. Illustration :

illustration des accroissements finis

On a cerné le tracé de la fonction, pour \(x \geqslant 0,\) à la zone jaune vif. On constate que la courbe représentative de fonction qui cadre avec les maigres connaissances qu’on en avait, en l’occurrence \(\frac{1}{1 + x},\) se trouve bien dans cette zone (tracé noir).

Un lien sur le sujet :

http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveth.html

 

accroissement