Noyau, rang et théorème des dimensions
Notre existence est constellée d’interrogations diverses. En dehors des questionnements dont la complexité dépasse le cadre de ce site (quelle était la couleur du cheval blanc de Henri IV, qu’y a-t-il à manger ce soir, etc.), il existe fort heureusement de rassurantes certitudes. Ainsi, « telle application est-elle injective ou surjective ? » est une question qui appelle une réponse très simple. Vous en doutez ? Voyons cela.
Et d’abord, étudions ce que sont un noyau et un rang.
Le noyau
Supposons une application linéaire \(f\) d’un espace vectoriel \(E\) dans un autre espace vectoriel \(F,\) par exemple un ensemble numérique.
Le noyau est l’ensemble des éléments de \(E\) dont l’image est le vecteur nul de \(F.\) L’image de l’application \(f\) est l’ensemble des vecteurs qui sont images d’au moins un vecteur de \(E.\) Elle se note \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f.\)
Le noyau est noté « ker » (de l’allemand Kern qui signifie noyau).
Donc, \(\ker f\) est un sous-espace vectoriel de \(E.\)
Important : si le noyau d’une application linéaire se résume à l’élément neutre, c’est que cette application est INJECTIVE.
Le rang
Le rang (\({\rm{rg}}\)) d’une application linéaire est la dimension de l’image de cette application.
Une application linéaire n’est SURJECTIVE que si son rang est égal à la dimension de l’espace d’arrivée.
Ce rang ne peut être qu’inférieur ou égal aux dimensions des ensembles de départ et d’arrivée.
Ainsi, le rang d’une application linéaire composée est inférieur ou égal au plus petit des rangs de chacune de ses applications.
Le théorème des dimensions (ou du rang)
\({\rm{rg}}\, f + {\rm\,{dim \, ker\, f = dim\, E}}\)
La dimension de \(E\) est égale à la somme des dimensions du noyau et du rang de l’application linéaire. Par exemple, le rang d’une application de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\) ne pouvant pas être supérieur à 1, la dimension du noyau est au moins égale à 1.
Exemple
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) :
\(f(x, y, z)\) \(= (x + 2y,2x + 3z).\) Quels sont son rang et son noyau ?
Remarque préalable : la dimension de l’espace de départ étant plus grand que celui d’arrivée, notre application ne risque pas d’être injective…
Du coup, le rang ne peut pas être supérieur à 2. Réécrivons l’application.
\(f(x, y, z) = x(1,2) + y(2,0) + z(0,3).\)
Ces trois vecteurs \((1,2),\) \((2,0)\) et \((0,3)\) engendrent un espace vectoriel dans \(\mathbb{R}^3.\) Sont-ils tous liés ? On voit que non car, pris deux à deux, leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Donc le rang est égal à 2 (la liaison nécessite nos trois vecteurs) et par conséquent la dimension du noyau est 1.
Le rang est égal à la dimension de l’espace d’arrivée. Donc, \(f\) est surjective.
Déterminons le noyau. L’application doit être égale au vecteur nul.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2y = 0}\\ {2x + 3z = 0} \end{array}} \right.\)
On trouve \(y = - \frac{1}{2}x\) et \(z = - \frac{2}{3}x.\)
Ainsi, \(\ker\, f\) \(= \left\{ {x\left( {1, - \frac{1}{2}, - \frac{2}{3}} \right) \in {\mathbb{R}^3};\,x \in \mathbb{R}} \right\}\)
