Je me souviens qu'au lycée, bon nombre de profs répétaient à l'envi qu'on n'additionne pas des choux et des carottes. Eh bien si, et ça s'appelle une combinaison linéaire. L'évaluation d'un chiffre d'affaires ou d'un stock de produits variés, le montant d'un portefeuille d'actifs sont des additions de diverses quantités d'entités différentes qui, mathématiquement, s'étudient dans le cadre des espaces vectoriels.

Cette page balaie des notions de niveaux divers (de la classe de seconde au supérieur).

Un espace vectoriel est muni de deux lois de composition, l’une interne (somme des vecteurs) et l’autre externe (multiplication par des scalaires, c'est-à-dire des réels ou des complexes). Le mix des deux se traduit par les combinaisons linéaires.

Par exemple, dans R², espace à deux dimensions, la somme 2(1, 2) + 3(3, 1) est égale à (2, 4) + (9, 3), c’est-à-dire le vecteur (11, 7). Illustration :

Si l’on additionne plusieurs vecteurs, on obtient la relation de Chasles qui est tout simplement un raccourci pour aller d’un point à un autre :

NB: ce type d'écriture, avec des flèches, n'est utilisé qu'en géométrie.

Plus concrètement, on peut supposer que cinq consommateurs ont positionné un produit sur une échelle non comparative. Deux d’entre eux ont donné la note 1 au prix (en abscisse) et 2 au packaging (en ordonnée), trois d’entre eux ont attribué la note 3 au prix et 1 au packaging. Le vecteur représentatif de l’échantillon, en vert, indique la note globale. C'est le principe du modèle de Fischbein, bien connu en marketing.

Ce que nous visualisons ici peut être étendu au calcul matriciel qui permet d’appréhender autant de dimensions qu’on le souhaite.

Par ailleurs, il est évident que si l’on ajoutait sur notre graphe un autre vecteur vert, combinaison linéaire d’autres rouges et d’autres bleus, et un vecteur noir, combinaison linéaire des deux verts, cela impliquerait que le noir est une combinaison de tous les rouges et de tous les bleus. En revanche, si l'on « multiplie » un vecteur par un autre, le résultat ne se situe plus dans le même espace puisqu'il s'agit d'un simple nombre (voir produit scalaire).

La détection d'une combinaison linéaire entre plusieurs vecteurs permet de découvrir qu'un système est lié.

Exemple

Démontrer que Vect((1, 0, 4) ; (2, 1, 5) ; (7, 2, 22)) = Vect((1, 0, 4) ; (2, 1, 5)).

Pour cela, on montrera que (7, 2, 22) est une combinaison des deux autres.

(7, 2, 22) = a(1, 0, 4) + b(2, 1, 5). On pose le système. Il vient a + 2b = 7, b = 2 (donc a = 3). Comme le troisième terme vérifie 22 = (4 × 3) + (5 × 2), on a bien une combinaison linéaire. En l’occurrence, (7, 2, 22) = 3(1, 0, 4) + 2(2, 1, 5).

En pratique, il est courant de chercher l'ensemble des combinaisons linaires qui maximisent un résultat sous contrainte. Voir par exemple la théorie du portefeuille où l'espérance de rentabilité globale est une combinaison linéaire des espérances de rentabilité de chaque investissement qui compose le portefeuille.

Colinéarité

Les vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = kv. Ainsi, les vecteurs (1, 2, -1, 3) et (2, 4, -2, 6) sont colinéaires dans R⁴. Seule la loi de composition externe est requise. On vérifie donc une proportionnalité des nombres entre les deux vecteurs.

La colinéarité dans le plan est une notion enseignée en classe de seconde. Ci-dessous, les segments de droites [AB] et [CD] sont parallèles car les vecteurs AB et CD sont colinéaires (et s'ils avaient un point commun, les droites seraient confondues). Comme on dispose des coordonnées de ces vecteurs, il est facile de savoir s'ils sont colinéaires en appliquant la formule xy' – x'y = 0. Ici, on le remarque tout de suite sur le graphe mais on le vérifie aussi en posant (0,5 × -1) – (-0,5 × 1) = 0.

D'une façon plus générale, on démontre que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Sur l'espace des réels R, tous les vecteurs (c'est-à-dire les nombres) sont colinéaires.

S'il existe une combinaison linaire entre plusieurs vecteurs, on est ramené à un problème de colinéarité. En pratique, la colinéarité est l'ennemie. Par exemple, une régression multiple exige l'élimination de toute variable explicative qui serait une combinaison linéaire d'autres variables. On s'assure donc du rang de la matrice des SCALAIRES que sont les coefficients des variables.

Systèmes générateurs

Un ensemble S de n vecteurs engendre un espace vectoriel si tous les vecteurs de ce dernier peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des n vecteurs. S est dit système « générateur » ou famille génératrice.

La recherche d’un système générateur consiste donc à déterminer les vecteurs grâce auxquels tous les vecteurs de l’espace, ou d’un sous-espace, peuvent être construits. Mais attention, une famille génératrice peut très bien inclure des vecteurs superflus (système lié).

Le sous-espace vectoriel engendré par le système S = {u₁, u₂…, u_n} est le plus petit sous-espace vectoriel de l’espace E contenant {u₁, u₂…, u_n}.

J'ai déjà utilisé la notation Vect(u₁, u₂..., u_n). Elle est employée pour désigner l'espace engendré par la combinaison linéaire des n-uplets u₁ à u_n. Prenons maintenant un exemple moins parlant que les coordonnées de vecteurs dans le plan. Soient deux fonctions numériques f(x) = x² et g(x) = e^x. Vect(f, g) est l'ensemble infini de combinaisons linéaires à coefficients réels engendré par ces deux fonctions, comme par exemple 2x² + 3e^x, ou encore -e^x... Voir également la page équations différentielles linéaires.