Initiation au repérage en 3D
Au collège, on étudie des formes simples en trois dimensions. Certes, ces solides sont manipulés dès la maternelle mais lorsqu’ensuite ils sont abordés en cours de mathématiques, ils deviennent pour de nombreux élèves beaucoup moins amusants. Ainsi, les pavés, puis les pyramides ou encore les cônes font l’objet de calculs de volumes ou de dessins de patrons parfois casse-têtes.
Ces solides peuvent aussi être étudiés dans le cadre de la géométrie analytique, c’est-à-dire que leurs points ont des coordonnées dans un repère.
Des repères particuliers
Dans une initiation comme celle qui est présentée ci-dessous, c’est le solide lui-même qui définit le repère. Bien sûr, pour que celui-ci soit simple à appréhender, nous n’allons pas débuter avec des formes bizarroïdes. Le solide sera un simple pavé.
Dans un tel repère, on peut éventuellement définir un point situé au-delà du solide.
Ensuite, nous nous intéresserons à une sphère. Bien sûr celle-ci peut être étudiée, comme le pavé, dans un espace en trois dimensions muni d’un repère. Mais pour une initiation, l’étude serait un peu compliquée…
Nous verrons donc l’exemple de la sphère terrestre. Ici, pas de point dans l’espace interplanétaire. Les coordonnées s’appliquent à des lieux de l’écorce terrestre (latitude et longitude). Le seul autre point qui nous intéressera sera le centre de la Terre.
Pour terminer cette longue introduction, sachez que l’exemple du pavé droit est en principe vu en classe de troisième. Les bases du repérage terrestre sont également enseignées au collège mais les précisions qui seront données ci-dessous relèvent du niveau de seconde dans le cadre du programme de maths (et non de géographie !) depuis la rentrée 2017. Elles sont également utiles pour le cours de SNT (chapitre qui traite de la géolocalisation).
Exemple d’un pavé droit
Pour se repérer dans un pavé droit (parallélépipède rectangle), il faut prendre comme origine l’un de ses sommets. Deux arêtes de la base permettent de définir les axes des abscisses et des ordonnées et une arête verticale permet de définir l’axe des cotes (ou altitude). Ces axes sont gradués afin de pouvoir repérer des points dans cet espace en trois dimensions.
Comme il y a trois axes, les coordonnées d’un point sont un triplet.
Exemple :
Le pavé apparaît en perspective cavalière (les arêtes non visibles n’apparaissent pas en pointillés car elles sont confondues avec les axes).
L’origine correspond au sommet caché du pavé. Dans cet exemple, le point A indique le coin du parallélépipède le plus éloigné de l’origine. Il a pour coordonnées \((1\,; 4\,; 2).\) En effet, on voit que le pavé « s’avance » de 1 sur l’axe des abscisses, qu’il mesure 4 sur l’axe des ordonnées (un carreau vaut 0,5) et qu’il s’élève de 2 sur l’axe des cotes.
Exemple de la sphère terrestre
On se repère sur une sphère à l’aide de coordonnées de cercles. Bien que la Terre ne soit pas tout à fait sphérique, elle offre le meilleur exemple de repérage.
Un méridien est un demi-cercle imaginaire qui rejoint les deux pôles et dont les points ont la même longitude. Il coupe l’équateur à angle droit. Le méridien 0 est celui de Greenwich (ville de la banlieue de Londres où se trouve un observatoire).
On compte les méridiens en degrés, divisés en minutes et secondes, en partant vers l’est ou vers l’ouest. Le système décimal est toutefois utilisé pour les calculs (ce sont alors les valeurs ouest qui sont négatives). Exemples de longitudes : New York 73°58’O, Moscou 37°37’E.
Un parallèle correspond à un cercle imaginaire dont les points sont à la même latitude. Le parallèle 0 est l’équateur. À partir de l’équateur, on compte en degrés (nord ou sud) jusqu’au quatre-vingt-dixième qui correspond aux pôles. En système décimal, des valeurs négatives sont affectées à l’hémisphère sud. Par exemple, Montréal est situé à une latitude de 45° 30’ N, soit légèrement plus près de l’équateur que Lyon (info surprenante pour un Français !). Écriture décimale : 45.5 (avec un point).
Pourquoi longitude et latitude sont-elles exprimées en degrés ?
Pour déterminer la latitude d’un point \(A,\) il faut imaginer un triangle dont un sommet est situé au centre de la Terre (point \(C\) ci-dessous), un autre sur l’équateur (\(B\)) et un troisième est \(A.\) Ce triangle est orthogonal à l’équateur. Sur la figure ci-dessous, \(A\) est situé sur le cinquantième parallèle nord.
Même chose pour la longitude, sauf que cette fois le triangle est à l’horizontale et que l’un de ses points est situé sur le méridien de Greenwich.
Donc, si vous avez bien saisi la logique, vous en concluez qu’une latitude pour un hémisphère donné est comprise entre 0 et 90° mais qu’une longitude est comprise entre 0 et 180° (est et ouest).
Les coordonnées géographiques d'un point d'une sphère sont le binôme \((x \,; y)\) où \(x\) est la latitude du point et \(y\) sa longitude.
