Élasticité de la demande au prix
L’élasticité de la demande aux prix est une notion connue depuis la première moitié du dix-neuvième siècle (Cf. les Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses d'Antoine-Augustin Cournot). D'ailleurs elle est enseignée dans le secondaire (voir l'initiation à l'élasticité). Elle trouve une application concrète dans le marketing. Son interprétation a le mérite de la simplicité : une élasticité de -2 signifie que si l’on augmente le prix d’un produit de \(1\%,\) sa demande diminuera de \(2\%.\)
Le pricing
L’élasticité est un élément important pour déterminer le prix le mieux adapté à la demande d’un produit. La seule difficulté, c’est que les données fiables sont très, mais alors très difficiles à obtenir…
Des élasticités qui couvrent un ensemble de produits sont disponibles auprès d’organismes gérant des panels ou auprès de l’INSEE. À titre d’exemple, cet organisme estime que l’élasticité-prix du chauffage domestique est de -0,2 (www.insee.fr). Comme on s’en serait douté, la demande de chauffage est très rigide. Mais on n’entre pas dans le détail. Bien que très lié à ce marché, un fabricant de radiateurs estimera au contraire que ses articles montrent une très forte élasticité puisque le particulier se moque éperdument de la marque des radiateurs qu’il possède.
Une étude sur un produit ou une marque peut être directement conduite par un fabricant mais plus souvent confiée à un cabinet spécialisé. À l’exemple des sondages établis pour fixer un prix psychologique, une enquête visant à connaître les intentions d’achat ne fournit cependant pas un matériau très fiable. Le genre de données à manipuler avec gants et masque de protection…
Ces liaisons entre prix et intention d’achat sont synthétisées sous forme de nuage de points puis formalisées par une régression, linéaire ou non. La fonction obtenue est celle de la demande qui dépend du prix. Son expression algébrique sert à calculer sa variation relative qui se traduit par une seconde fonction, celle de l’élasticité : c’est le ratio de la fonction de demande sur sa dérivée et multipliée par la quantité. La phase calculatoire de l’étude n’est donc pas difficile. Il arrivait qu’elle fasse l’objet d’un exercice dans l’épreuve de mathématiques du bac ES. Les économistes raisonnent ainsi bien que la psychologie expérimentale nous enseigne qu'il faudrait plutôt utiliser des paliers (les consommateurs ne réagissent qu'en cas de modification sensible des prix).
Si les intentions d’achat ne sont pas modélisées par une fonction continue, on peut toujours définir l’élasticité-prix comme une variation de la quantité demandée (en pourcentage) par rapport une variation du prix (en pourcentage).
En tout état de cause :
\[e_{q/p} = \frac{\frac{\Delta q}{q}}{\frac{\Delta p}{p}} = \frac{\Delta q}{\Delta p} \times \frac{p}{q}\]
Variété des élasticités-prix
La sensibilité à un prix est faible pour des achats « plaisirs » peu fréquents et à l’inverse, elle est forte pour des dépenses coûteuses (téléviseurs, automobiles…). Quant aux biens de première nécessité dont les caractéristiques intrinsèques sont proches (lessive, lait…), ils présentent une élasticité forte sur la référence mais pas sur le type de produit.
On dit qu’une demande est élastique si la sensibilité est inférieure à -1 et rigide si elle est comprise entre -1 et 0. Il peut arriver qu’une élasticité soit positive. Elle traduit alors un effet de Veblen (par snobisme, on achète davantage un produit prestigieux lorsque son prix augmente). Dans la mesure où cette situation reste exceptionnelle, il est habituel d’omettre le signe négatif des élasticités.
Il est évident que l’élasticité est une moyenne qui reflète la subjectivité de nombreux consommateurs (mais nous n’en sommes pas encore à étudier l’écart-type de l’élasticité !). Prenons l’exemple d’une semaine de vacances à Antalya. Certains clients paieraient plus cher sans rechigner car ce sont les richesses de la Turquie qui les intéressent. D’autres touristes, inféodés à la piscine de l’hôtel, choisissent indifféremment n’importe quelle destination ensoleillée, ne se fondant que sur leur budget… Au-delà du type de produit, la sensibilité à un prix dépend donc aussi de l’attitude du consommateur. En particulier, s’il existe une forte affectivité pour un produit, peu importe combien il coûte.
Les élasticités croisées
Il sy a élasticités croisées lorsqu'il y a modification de la demande d’un produit autre que celui dont le prix varie. Supposons une hausse du prix des apéritifs alcoolisés. L’élasticité croisée mesure alors la variation de la demande des produits de substitution (élasticité positive sur les apéritifs sans alcool) et des produits complémentaires (élasticité négative sur les chips et biscuits d’apéritif). Les élasticités croisées sont particulièrement étudiées au sein d’une même gamme, théâtre de synergies ou de cannibalisations…
Mentionnons enfin l’élasticité-revenu, sensibilité d’un produit à la richesse. Elle aussi oscille entre le très fort (produits de luxe) et le nul (ce n’est pas parce qu’on est plus riche qu’on consomme plus de sel).
Exemple de calcul d’élasticité-prix
Un petit restaurant proposait un menu unique à 12 € et l'on pouvait espérer 600 couverts hebdomadaires… Mais un jour, n’écoutant que sa cupidité, le patron augmenta le prix du menu d’un euro. Il fit 20 couverts de moins dans la semaine. Pour compenser ce manque à gagner, il augmenta à nouveau son prix d’un euro mais ce furent à nouveau 20 couverts de moins. Et les choses se reproduisirent maintes fois à l’identique.
Lorsque le menu atteignit 25 euros, le patron commença à se poser des questions. Il frappa à la porte de l’élasticitien du village et lui commanda une étude. En voici la teneur.
Manifestement, sur l’intervalle \([12\,; 25],\) la courbe de demande est modélisable par une fonction affine \(f\) dont le coefficient directeur est -20. La constante est égale à \(600 + (12 × 20)\) \(=\) \(840.\) Donc, \(f(p) = -20p + 840.\) Si l’on extrapole, il n’y aura plus aucun client lorsque le prix s’élèvera à 42 euros encore que rien ne permet d’affirmer que la fonction restera identique au-delà du prix \(p = 25\) €.
Quelle élasticité-prix observe-t-on à ces deux bornes que sont 12 et 25 ?
À 12 euros, elle s’établit à \(\frac{12f'(p)}{f(p)}\) \(=\) \(\frac{-240}{(-20 \times 12) + 840}\) \(=\) \(-0,4.\) La formule employée ici est celle qui est présentée en page d'élasticité. Évidemment, on trouve le même résultat avec la formule indiquée ci-dessus, soit \(-20 \times \frac{12}{600}.\) Quant au chiffre d’affaires, il s’élève à \(12 × 600 = 7\,200\) €.
À 25 euros, le nombre de couverts a chuté de \(13 × 20 = 260.\) Il végète donc à 340 (certains clients auraient même vu le cuisinier jouer aux cartes avec la serveuse pour passer le temps). L’élasticité-prix atteint des sommets jamais vus : -1,47. Certes, la recette atteint \(25 × 340\) € \(=\) \(8\,500\) € mais une concurrence ragaillardie commence à s’installer…
Au départ, ce n’était pourtant pas une mauvaise idée d’augmenter le prix du menu mais il aurait fallu savoir s’arrêter à temps… Explication : si une fonction de demande est affine, c’est une élasticité-prix de -1 qui maximise le chiffre d’affaires (nous ne le démontrerons pas).
Quel prix permet de se situer dans cette fabuleuse situation ?
Il faut que \(-\frac{20p}{q} = -1.\) Comme \(q = -20p + 840,\) on obtient une banale équation à une seule inconnue. Qui d’ailleurs ne reste pas inconnue très longtemps puisqu’on découvre qu’elle n’est autre que 21. Ce prix de 21 € permet d’envisager 420 couverts et donc une mirifique recette de 8 820 €.
On obtient ce même résultat avec la fonction de chiffre d’affaires dont l’expression est \((-20p + 840) × p,\) soit \(-20p^2 + 840p.\) Sa dérivée s’annule en \(-40p + 840 = 0,\) soit \(p = 21.\)
Voir en page d'exercice de pricing comment la connaissance d'une élasticité-prix permet de déterminer un prix de vente optimal.
