La positivité des intégrales

Intégration et positivité

C’est en classe de terminale que l’on découvre un formidable outil mathématique, l’intégration. Formidable dans ses applications pratiques (bien qu’elles ne se découvrent pas encore en terminale) et par les propriétés dont sont munies les intégrales : la linéarité, la relation de Chasles et la positivité.

Au sens large, la positivité s’énonce elle-même par deux propriétés.

 

Propriété 1 : la positivité

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) et \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a \,; b].\)

Si pour tout réel \(x ∈ [a\,; b]\) on a \(f(x) \geqslant 0,\) alors :

\[\int_a^b {f(x)dx \geqslant 0} \]

Comment se fait-il ? Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a \,; b].\) Donc pour tout \(x\) de \([a \,; b],\) \(F’(x) = f(x).\) Comme sur cet intervalle \(f\) est positive, nous déduisons que \(F\) est croissante. Donc \(F(a) \leqslant F(b).\) Rappelons que l’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) s’obtient par la différence \(F(b) - F(a).\) En l’occurrence, \(F(b) - F(a) \geqslant 0.\) La démonstration est faite.

Remarque : la réciproque est fausse. Soit par exemple \(f\) définie sur \([-1 \,; 2]\) par la fonction identité \(f(x) = x.\)

\(\int_{ - 1}^2 {xdx}\) \(=\) \(F(2) - F(1)\) \(=\) \(\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2} = 1,5\)

Certes, l’intégrale est positive mais \(f\) ne l’est pas sur tout l’intervalle. Ainsi \(f(-1) = -1.\)

 

Propriété 2 : l’ordre

Nous sommes toujours en présence de \(a\) et \(b,\) deux réels tels que \(a < b\) ; \(f\) et \(g\) sont deux fonctions telles que pour tout réel \(x\) de \([a\,; b]\) nous avons \(f(x) \leqslant g(x).\) Alors…

\[\int_a^b {f(x)dx } \leqslant \int_a^b {g(x)dx} \]

Pourquoi ?

Si pour tout \(x\) de \([a\,; b]\) nous avons \(f(x) \leqslant g(x),\) alors d’après la propriété précédente :

\[\int_a^b {\left[ {g(x) - f(x)} \right]} dx \geqslant 0\]

Remarque 1 : là aussi, la réciproque est fausse.

Remarque 2 : cette propriété permet d’encadrer une intégrale (voir exercice 2 ci-dessous).

 

Exercice 1

Quel est le signe de l’intégrale suivante ?

\[\int_0^3 {\left[ {{e^x} \times \ln (x + 2)} \right]} dx\]

 

Exercice 2

1- Montrer que pour tout réel \(x \geqslant 1\) on a \(\frac{1}{x^2} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}\)

2- Calculer \(\int_1^3 {\frac{dx}{x}}\)

3- En déduire un encadrement de \(\ln 3.\)

 

Corrigé 1

Quel que soit \(x,\) son exponentielle est positive. Quel que soit \(x \geqslant 0,\) \(x + 2 \geqslant 2,\) donc \(\ln (x + 2) \geqslant 0.\) Un produit de facteurs positifs étant positif, l’intégrale l’est aussi sans l’ombre d’un doute.

élève

 

Corrigé 2

1- Tout réel \(x \geqslant 1\) est supérieur à sa racine carrée et inférieur à son carré.

Donc \(1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^2\)

La fonction inverse étant décroissante sur \([1\,; +∞[,\) nous avons :

\(0 \leqslant \frac{1}{x^2} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{\sqrt{x}} \leqslant 1\)

2- Une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme (la notation entre crochets ci-dessous n’est pas toujours employée en terminale bien qu’elle soit très pratique).

\[\int_1^3 {\frac{{dx}}{x} = \left[ {\ln x} \right]} _1^3 = \ln 3\]

Il s’ensuit fort logiquement que :

\[\int_1^3 {\frac{{dx}}{x^2} \leqslant \ln 3 \leqslant \int_1^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} } \]

Si vous avez du mal à passer à l’étape suivante, relisez la page sur les primitives usuelles.

\(\left[ { - \frac{1}{x}} \right]_1^3 < \ln 3 < \left[ {2\sqrt x } \right]_1^3\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3} \leqslant \ln 3 \leqslant 2\sqrt{3} - 2\)

Vous pouvez d’ailleurs le vérifier à l’aide de votre calculatrice préférée.

 

super positif