Diversité et dérivation des fonctions puissances
Au pays des fonctions vit une famille nombreuse. La famille des fonctions puissances. Elle vous propose une journée portes ouvertes alors profitez-en et lisez ce qui suit…
Une grande famille
Les fonctions puissances s’appuient sur le même modèle, où \(\beta\) est un réel (nous verrons ensuite à quels ensembles numériques peuvent appartenir \(x\) et \(\alpha\) :
\(f: x \mapsto \beta x^{\alpha}\)
Pour simplifier, nous considérerons que par défaut \(\beta = 1.\)
1- Si \(\alpha\) est un entier naturel
Si \(\alpha = 0,\) c’est une fonction constante.
Si \(\alpha = 1,\) c’est une fonction linéaire.
Si \(\alpha > 1\) et pair et \(x \in \mathbb{R},\) la fonction est strictement décroissante, continue et paire sur l’intervalle \(]-\infty \,; 0]\) puis croissante sur \([0\, ; + \infty[\) (le contraire si \(β < 0\). Dans la plupart des applications pratiques, x est positif.
Si \(\alpha > 1\) et impair, la fonction est croissante (décroissante si \(\beta < 0\)) et impaire.
2- Si \(\alpha\) est un entier relatif
Si \(\alpha \geqslant 0,\) voir ci-dessus.
Si \(\alpha < 0\) alors \(x\) doit être différent de 0. Pour s’en convaincre, il suffit de se reporter à la propriété ci-dessous :
\(\forall x \in \mathbb{R}^*, \forall n \in \mathbb{N}, x^{-1} = \frac{1}{x^n}\)
Là encore, \(\alpha\) peut être pair ou impair.
S’il est pair, la fonction est strictement croissante et continue sur \(]- \infty \,; 0[\) et décroissante sur \(]0 \,; +\infty[\) (le contraire si \(\beta\) est négatif).
Exemple de la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) (réalisation avec GeoGebra).
Si \(\alpha\) est impair, la fonction est décroissante sur les deux intervalles (croissante si \(\beta < 0\)).
3- Si \(0 < \alpha < 1,\) \(\alpha\) étant l’inverse d’un entier naturel
Il s’agit d’une racine énième. Par exemple, si \(\alpha = 0,5,\) nous sommes en présence de la fonction racine carrée.
Si \(\alpha\) est pair, la fonction est définie sur \(\mathbb{R}_+\) et elle est strictement croissante.
Si \(\alpha\) est impair, la fonction est définie sur \(\mathbb{R}\) et elle est strictement croissante.
La fonction puissance \(\alpha\) est la réciproque de la fonction puissance \(\frac{1}{\alpha}.\) Exemple des courbes représentatives des fonctions cube (en vert) et racine cubique (en rouge) :
4- Si \(\alpha\) est un rationnel (autres cas que ci-dessus)
\(\forall x \ne 0,\) \(\alpha = \frac{p}{q}\) avec \(p \in \mathbb{Z},\) \(q \in \mathbb{N}^*,\) alors \(x^{\alpha} = \sqrt[q]{{{x^p}}}\)
5- La fonction alpha-puissance
C’est une fonction \(f\) définie et continue sur \(]0\,; + \infty[\) par :
\(f: x \mapsto x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}\)
On peut d’ailleurs remplacer l’exponentielle et le logarithme népérien par une exponentielle de base \(a\) et un logarithme de base \(a.\)
Lorsqu’on évoque une fonction puissance, il s’agit le plus souvent de cette forme générale. Par exemple, une régression sur tendance puissance, définie pour des valeurs positives, se traduit par une équation de type \(y = \beta x^{\alpha}.\) Par commodité, les valeurs de \(\alpha\) sont données sous forme décimale, éventuellement arrondies.
Dérivées
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \beta x^{\alpha}.\) Sa dérivée s'écrit \(f’(x) = \beta \alpha x^{\alpha - 1}.\)
Prenons l’exemple de la fonction racine carrée. C’est la fonction puissance \(\frac{1}{2}.\)
\(f'(x)= (\frac{1}{2} - 1)x^{0,5} = - \frac{\sqrt{x}}{2}\)
Vous retrouverez tout aussi facilement la dérivée de la fonction inverse, c’est-à-dire puissance -1.
Voir aussi les exercices de dérivation de fonctions de puissances entières.
Bref mémo de propriétés des puissances
\(x^n x^p = x^{n+p}\)
\((x^n)^p = x^{np}\)
\(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) avec \(x \ne 0\)
\(\frac{x^n}{x^p} = x^{n-p}\)
\(x^0 = 1\)
