TMS et convexité des préférences
Contrairement à ce qu’il voudrait nous faire croire, le taux marginal de substitution (TMS)… n’est pas un taux ! C’est, comme nous allons le voir, un rapport entre deux accroissements. Graphiquement, si l’on considère ces accroissements sur un intervalle très petit, il prend la forme d'une tangente…
Rappels
Les courbes d’indifférence font partie des notions de base de microéconomie.
Situons-nous dans la peau d’un consommateur rationnel (mais le raisonnement s’applique aussi aux investisseurs, voir la page utilité de l’investisseur).
Pour simplifier, nous considérons deux biens ou deux paniers de biens substituables. Nous en représentons les quantités sur deux axes. Un consommateur peut définir un ensemble de combinaisons de ces deux biens (en l'occurrence, des sorties et des vacances) pour lequel il éprouve la même satisfaction. Ci-dessous, au point \(A\), il consacre beaucoup de temps ou d’argent aux sorties et peu aux vacances alors qu’au point \(B\) c’est l’inverse.
La convexité des préférences
Généralement, on admet que la courbe a la FORME ci-dessus. C’est la traduction d’une notion : la convexité des préférences. En l’occurrence, il serait très difficile à notre consommateur de se passer complètement de sorties ou de vacances. Quant à la POSITION de la courbe, elle dépend du niveau d’utilité mais ici cet aspect ne nous importe pas.
Pour mémoire, on peut envisager des préférences concaves : tout l’un ou tout l’autre. Si notre consommateur souhaite se spécialiser en mathématiques mais sans avoir d’idée bien arrêtée, il choisira d’acheter des livres soit d’algèbre soit d’analyse, mais sera moins intéressé par un assortiment des deux. On peut aussi envisager quelque chose de linéaire. La règle générale reste cependant la stricte convexité.
Le TMS
Le TMS d’un bien 2 au bien 1 est la quantité de bien 2 à laquelle le consommateur est prêt à renoncer pour obtenir une unité supplémentaire de bien 1, à niveau d’utilité égal. Ou ce qui revient au même, la quantité additionnelle de bien 2 qu’il lui faut pour renoncer à une unité de bien 1.
Le TMS du bien 1 au bien 2 est évidemment son inverse. En l’absence de précision, on considère toujours le TMS du bien 2 au bien 1 (ou du bien \(Y\) au bien \(X\)).
On peut donc définir le TMS comme un rapport des utilités marginales des deux biens.
Comme on se prive d’un bien pour un autre, le TMS est un rapport entre une valeur positive et une valeur négative. Il devrait donc être négatif. Comme il n’est pas habituel d’utiliser des mesures systématiquement négatives, on retient sa valeur absolue (ou son opposé, ce qui revient au même).
Soit \(q_1\) la quantité de bien 1 et \(q_2\) la quantité de bien 2.
Dans le cas discret, \({\rm{TMS}} = - \frac{{\Delta q_2}}{{\Delta q_1}}\)
Dans le cas continu, nous considérons une fonction d'utilité totale de deux variables \(Ut(q_1,q_2)\). Le TMS est le rapport des deux dérivées partielles :
\[{\rm{TMS}} = \frac{{\frac{{\partial Ut}}{{\partial x}}}}{{\frac{{\partial Ut}}{{\partial y}}}}\]
Graphiquement, c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’indifférence en un point donné (au signe près puisqu’on a considéré sa valeur absolue).
Effet de la convexité des préférences, la valeur du TMS décroît le long de la courbe d’indifférence.
Exercice
Soit la fonction d’utilité \(U\) d’un consommateur et deux biens 1 et 2 dont les quantités respectives sont \(x\) et \(y\).
\(U(x,y) = xy + 4y\)
1- Les préférences du consommateur sont-elles convexes ?
2- Ce consommateur possède 100 unités du bien 1 et 100 du 2.
a- Calculer son utilité.
b- À utilité égale, si l’on augmente \(x\) de 1 unité, de combien d’unités \(y\) doit-il baisser ?
c- Déterminer le TMS pour cette zone.
3- Déterminer l’expression algébrique du TMS.
4- Comparer les résultats.
5- Représenter graphiquement la courbe d’indifférence.
Corrigé
1- Exprimons y en fonction de \(x\) pour une niveau d’utilité \(U_0\).
\(U_0 = y(x + 4)\)
\( \Leftrightarrow y = \frac{U_0} {x+4}\)
Il s’agit d’une fonction inverse (donc convexe pour \(x\) positif). Graphiquement, nous obtenons une partie d’une branche d’hyperbole.
Les préférences du consommateur montrent bien une convexité. Les deux biens sont substituables.
2- a- \(U(100,100) = 100 × 100 + 4 × 100 = 10\,400\)
b- Soit \(x = 101.\)
\(101y + 4y = 10\,400\)
\( \Leftrightarrow y = \frac{{10\,400}}{{105}}\)
\( \Leftrightarrow y \approx 99,0476\)
\(y\) a donc diminué de \(100 - 99,0476 = 0,9524.\)
Notre consommateur est prêt à renoncer à 0,952 unité de bien 2 pour obtenir une unité du bien 1 (d’ailleurs l’expression de la fonction d’utilité montre bien qu’il préfère le bien 2 au 1).
\[{\rm{TMS}} = - \frac{{ - 0,9524}}{1} = 0,9524\]
3- \[{\rm{TMS}} = \frac{{\frac{{\partial U}}{{\partial x}}}}{{\frac{{\partial U}}{{\partial y}}}} = \frac{y}{{x + 4}}\]
4- Pour \(x = 100\) et \(y = 100\), \(\rm{TMS} = \frac{100} {104} \approx 0,9615\). Il est normal de ne pas obtenir exactement le même résultat.
5- Tracé de courbe et de tangente (pour \(x_0 = 100\)) avec Geogebra :
