Il n’y a que dans son bagage mathématique qu’il est bon d’avoir des complexes. La page ici présente traite des propriétés vectorielles de ces nombres si particuliers. Le niveau est celui de la terminale S.

Rappelons que l’affixe d’un nombre complexe z peut être représentée par un vecteur sur le plan complexe orthonormé. Sous sa forme algébrique, la partie réelle de z est indiquée sur l’axe horizontal et la partie imaginaire sur l’axe vertical. Mais, comme un vecteur qui se définit aussi par une longueur et un angle par rapport à l’origine, z s'exprime aussi bien par ses coordonnées polaires. La longueur est le module et l’angle est l’argument.

Dès lors, on se doute que les nombres complexes pourront bénéficier des largesses du calcul vectoriel.

Notamment, la distance entre les points A et B est égale à |z_B – z_A|. Il s’agit bien sûr d’une distance euclidienne qui vérifie l’inégalité triangulaire. Si l’on exprime ces points à l’aide des vecteurs u et v, nous obtenons :

Ces deux vecteurs u et v sont colinéaires si z_v / z_u est un réel. Ils sont orthogonaux si ce quotient est un imaginaire pur.

Le cours est terminé, merci de votre attention…

Exercice 1 (d'après bac S Pondichéry 2009)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u ; v) (…). Soit A, B et C les points d’affixes respectives : A = (3 – i), B = (1 – 3i) et C = (-1 – i).

Placer ces points sur une figure (…). Quelle est la nature du triangle ABC ?

Le positionnement des points ne présente pas la moindre difficulté.

Calculons les trois distances du triangle.

AB = |z_B – z_A| = |1 – 3i – 3 +  i| = |-2 – 2i|
BC = |z_C – z_B| = |-1 – i – 1 + 3i| = |-2 + 2i|
AC = |z_C– z_A| = |-1 – i – 3 + i| = 4.

Les distances AB et BC se présentent sous une forme complexe qui n’est pas très parlante. Mais il suffit de déterminer les modules pour que les distances apparaissent sous forme de réels. Commençons par AB :

Et BC ? Comme |-2 + 2i| donne strictement le même résultat, on conclut que le triangle est isocèle.

Est-il droit ? Le carré de chacune de ces deux distances est 8 tandis que AC² s’établit à 16. En vertu du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en B.

Exercice 2 (d'après bac S Amérique du nord 2008).

(…) On considère le point A d’affixe z_A = 2 + i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon √2. Faire une figure (…). Déterminer les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe (O ; u).

Le tracé du cercle est très simple. Ci-dessous, il a été réalisé sur Geogebra. Il suffit de saisir « A=2+i » pour que le point soit positionné. On sélectionne A sur le plan puis on clique sur l’icône du cercle et, dans le menu déroulant, sur Cercle (centre-rayon). On entre alors le rayon et le logiciel trace le cercle.

Nous cherchons deux points de l’axe (O ; u),  c’est-à-dire deux réels qui sont solutions de l’équation suivante :

On a donc |x – (2 + i)| = √2. Afin de déterminer les solutions réelles, il faut éliminer i. Pour cela, on multiplie le complexe par son conjugué, le produit étant égal à 2. Puis on utilise une identité remarquable :

D’où (x – 2 – i)(x – 2 + i) = 2 et donc (x – 2)² – i² = 2. Puisque i est élevé au carré, on le remplace par -1. Il nous reste alors à résoudre l’équation (x – 2)² – 1 = 0, donc x² – 4x + 3 = 0. Le discriminant est égal à 4 et les solutions sont 1 et 3, ce qui se vérifie facilement sur la figure. Voyons la suite de l’énoncé.

On désigne par B et C les points d’affixes respectives z_B = 1 et z_C = 3. Déterminer l’affixe z_D du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ).

Facile. Puisque A est le milieu de [BD], (z_D + z_B) / 2 est égal à z_A. On trouve z_D = 3 + 2i.

Soit M le point d’affixe (3 / 5) + (6 / 5)i. Calculer le nombre complexe suivant :

Interpréter géométriquement un argument de ce nombre ; en déduire que le point M appartient au cercle (Γ).

Les règles d’algèbre apprises au collège suffisent pour arriver à (6 + 2i) / (1 – 3i). Il faut ensuite éliminer la partie imaginaire du dénominateur. Là encore, l’astuce consiste à faire le coup de l’identité remarquable. Finalement, on trouve que ce fameux nombre n’est autre que 2i.

Comme il s’agit d’un imaginaire pur positif, l’argument est π / 2 (Cf. le cercle trigonométrique). L’angle obtenu est droit. Or, si l’on applique la formule que j'ai indiquée en haut de cette page, on obtient :

En d’autres termes, ces deux vecteurs sont orthogonaux.