Les complexes et le calcul vectoriel

Propriétés géométriques des complexes

Il n’y a que dans son bagage mathématique qu’il est bon d’avoir des complexes. Nous traiterons ici de leurs propriétés vectorielles. Le niveau est celui de la terminale S.

 

Rappels et application aux complexes

Rappelons que l’affixe d’un nombre complexe \(z\) se représente par un vecteur sur le plan complexe muni d'un repère orthonormé. Sous sa forme algébrique, la partie réelle de \(z\) figure sur l’axe horizontal et la partie imaginaire verticalement. Mais, à l'instar d'un vecteur qui se définit par une longueur et un angle, \(z\) s'exprime aussi par des coordonnées polaires. La longueur est le module et l’angle est l’argument. Dès lors, les nombres complexes pourront bénéficier des largesses du calcul vectoriel.

Notamment, la distance entre les points \(A\) et \(B\) est égale à \(\left| {{z_B} - {z_A}} \right|.\) Il s’agit bien sûr d’une distance euclidienne qui vérifie l’inégalité triangulaire. Si l’on exprime ces points à l’aide des vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow {v}, \) nous obtenons :

\[(\overrightarrow u \,;\overrightarrow v ) = \arg \left( {\frac{{{z_{\overrightarrow v }}}}{{{z_{\overrightarrow u }}}}} \right)\]

Ces deux vecteurs\(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) sont colinéaires si \(\frac{z_{\overrightarrow v }}{z_{\overrightarrow u }}\) est un réel. Ils sont orthogonaux si ce quotient est un imaginaire pur.

 

Exercice corrigé 1 (d'après bac S Pondichéry 2009)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct \((O\,; \overrightarrow u \,; \overrightarrow v)\) (…). Soit \(A,\) \(B\) et \(C\) les points d’affixes respectives : \(A = (3 - i),\) \(B = (1 - 3i)\) et \(C = (-1 - i).\)

Placer ces points sur une figure (…). Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?

Le positionnement des points dans le plan ne présente pas la moindre difficulté.

représentation graphique

Calculons les trois distances du triangle.

\(AB\) \(= \left| {{z_B} - {z_A}} \right|\) \(= \left| {1 - 3i - 3 + i} \right|\) \(= \left| { - 2 - 2i} \right|\)
\(BC\) \(= \left| {{z_C} - {z_B}} \right|\) \(= \left| {-1 - i - 1 + 3i} \right|\) \(= \left| { - 2 + 2i} \right|\)
\(AC\) \(= \left| {{z_C} - {z_A}} \right|\) \(= \left| {-1 - i - 3 + i} \right| =4\)

Les distances \(AB\) et \(BC\) se présentent sous une forme complexe qui n’est pas très parlante. Mais il suffit de déterminer les modules pour que les distances apparaissent sous forme de réels. Commençons par \(AB\) :

\(\left| { - 2 - 2i} \right|\) \(= \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}}\) \(= \sqrt 8\) \(= 2\sqrt 2 \)

Et \(BC\) ? Comme \(\left| {-2 + 2i} \right|\) donne strictement le même résultat, on conclut que le triangle est isocèle. Est-il droit ? Le carré de chacune de ces deux distances est 8 tandis que \(AC^2\) s’établit à 16. En vertu de la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en \(B.\)

 

Exercice corrigé 2 (d'après bac S Amérique du nord 2008)

(…) On considère le point \(A\) d’affixe \(z_A = 2 + i\) et le cercle \((\gamma)\) de centre \(A\) et de rayon \(\sqrt2.\) Faire une figure (…). Déterminer les affixes des points d’intersection de \((\gamma)\) et de l’axe \((O\,; \overrightarrow u).\)

Le tracé du cercle est facile (ci-dessous avec Geogebra). Saisir « A=2+i » pour positionner le point. Sélection de \(A\) sur le plan puis on clic sur l’icône du cercle et, dans le menu déroulant, sur Cercle (centre-rayon). On entre alors le rayon. Le cercle apparaît.

figure Geogebra

Nous cherchons deux points de l’axe \((O\,; \overrightarrow u),\)  donc deux réels solutions de l’équation \(\left| {x - {z_A}} \right| = \sqrt 2 .\)

Ainsi \(\left| {x - (2 + i)} \right| = \sqrt 2 .\) Afin de déterminer les solutions réelles, il faut éliminer \(i.\) Pour cela, multiplions le complexe par son conjugué, le produit étant égal à 2. Puis appliquons l' identité remarquable :

\((x - 2 - i)(\overline {x - 2 - i} ) = 2\)

D’où \((x - 2 - i)(x - 2 + i) = 2\) et donc \((x - 2)^2 - i^2 = 2.\) Or, \(i^2 = -1.\) Il nous reste alors à résoudre l’équation \((x - 2)^2 - 1 = 0,\) soit \(x^2 - 4x + 3 = 0.\) Le discriminant est égal à 4 et les solutions sont 1 et 3, ce qui se vérifie facilement sur la figure. Voyons la suite de l’énoncé.

On désigne par \(B\) et \(C\) les points d’affixes respectives \(z_B = 1\) et \(z_C = 3.\) Déterminer l’affixe \(z_D\) du point \(D\) diamétralement opposé au point \(B\) sur le cercle \((\gamma).\)

Facile. Puisque \(A\) est le milieu de \([BD],\) \(\frac{{{z_D} + {z_B}}}{2}\) est égal à \(z_A.\) On trouve \(z_D = 3 + 2i.\)

Soit \(M\) le point d’affixe \(\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i.\) Calculer le nombre complexe suivant :

\[\frac{{{z_D} - {z_M}}}{{{z_B} - {z_M}}}\]

Interpréter géométriquement un argument de ce nombre ; en déduire que le point \(M\) appartient au cercle \((\gamma).\)

Les règles d’algèbre apprises au collège suffisent pour arriver à \(\frac{6 + 2i}{1 - 3i}.\) Il faut ensuite éliminer la partie imaginaire du dénominateur. Là encore, identité remarquable. Finalement, ce fameux nombre n’est autre que \(2i.\)

Comme il s’agit d’un imaginaire pur positif, l’argument est \(\frac{\pi}{2}\) (Cf. le cercle trigonométrique). L’angle obtenu est droit. Or, si nous appliquons la formule indiquée en haut de cette page, nous obtenons :

\[\arg \left( {\frac{{{z_D} - {z_M}}}{{{z_B} - {z_M}}}} \right) = (\overrightarrow {MB} \,;\overrightarrow {MD} )\]

En d’autres termes, ces deux vecteurs sont orthogonaux.

cercle et droites

 

vecteur complexe