Limites infinies de fonctions en un point a
Si la notion de limite en un point est abordée dès la classe de première pour présenter celle de nombre dérivé, elle n’est réellement étudiée qu'en terminale. Et devinez quoi, c’est justement pour les élèves de terminale que cette page a été rédigée. Alors plongeons-nous dans les limites infinies, sans oublier de revenir car on pourrait bien s’y perdre…
Définitions
Soit \(f\) une fonction et \(a\) un réel situé sur une borne de l'ensemble de définition de \(f\) mais en-dehors de celui-ci (par exemple 0 pour la fonction inverse).
Si la valeur de \(f\) est positive et infiniment grande sur cette borne \(a,\) on dit que la limite en \(a\) est \(+\infty\) (\(–\infty\), si elle est négative).
On note :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \]
Pour reprendre l’exemple de la fonction inverse, il est assez facile d’admettre que l’inverse d’un nombre infiniment proche de 0 est infiniment grand.
La limite de \(+\infty\) en \(a\) se définit ainsi : pour tout réel \(A > 0,\) il existe un réel \(\varepsilon > 0\) tel que, pour tout réel \(x \ne a\) de l’intervalle \(]a - \varepsilon \,; a + \varepsilon[,\) on a \(f(x) > A.\)
Il va de soi que « pour tout réel » implique que ça fonctionne pour \(\varepsilon\) infiniment petit !
On peut aussi introduire la notion de voisinage, ce qui allège la définition : pour tout réel \(A > 0,\) il existe un voisinage de \(a\) tel que pour tout \(x\) appartenant à ce voisinage, \(f(x) > A.\)
Vous adapterez sans mal ces définitions lorsque la limite est moins l’infini.
La plupart du temps, on doit étudier deux limites de \(f\) en \(a\) : l’une à gauche de \(a\) et l’autre à droite.
Une limite à droite se note ainsi :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\]
On rencontre aussi cette notation, un peu plus lourde…
\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {x \to a}\\ {x > a} \end{array}} f(x)\]
Graphiquement, la courbe longe une droite verticale d’équation \(x = a,\) appelée asymptote verticale. Par exemple, lorsqu’on représente la fonction inverse, l’axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe. À gauche de 0, la limite est \(–\infty\) et à droite elle est \(+\infty.\)
Exemples
Les limites en 0 de certaines fonctions simples doivent être connues. Elles permettent de déterminer les limites de fonctions plus complexes.
Prenons l’exemple suivant d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par :
\[f(x) = \frac{1}{{\sqrt x }} + 3\]
Une racine carrée n’est pas définie pour \(x < 0.\) Nous ne chercherons donc que la limite à droite de 0.
La racine carrée de 0 vaut 0. Celle d’un nombre très petit est proche de 0. Et l’inverse d’un nombre très petit est très grand (voir les limites des fonctions usuelles). La limite est infinie et le fait d’ajouter 3 ne change rien à l’affaire. Conclusion :
\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{x \to 0}\\
{x > 0}
\end{array}} f(x) = + \infty \]
Remarque : \(f\) n'étant pas définie pour \(x < 0,\) on peut se passer de préciser \(x > 0\) sous la notation de la limite.
Il est conseillé de tracer la courbe représentative de la fonction avec la calculatrice, ce qui permet de connaître la réponse… avant de la retrouver dans les règles de l’art !
Autre exemple : la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x) = -\frac{1}{x^3}\)
D’abord, à droite de 0 (c’est plus facile) : l’inverse d’un nombre très proche de 0 par une fonction \(f\) de puissance \(n\) (\(n\) étant un entier naturel non nul) est infiniment grand puisque l’image de ce nombre par \(f\) est infiniment petit. Dans le cas qui nous occupe, \(g\) est l’OPPOSÉE de l’inverse de la fonction cube. Nous devons donc opérer un changement de signe. Par conséquent :
\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{x \to 0}\\
{x > 0}
\end{array}} g(x) = - \infty \]
La détermination de la limite à gauche réclame un peu plus de concentration. En effet, nous sommes en territoire négatif et le comportement d’une fonction de puissance \(n\) diffère selon que \(n\) est pair ou impair.
Si \(n\) est impair, comme c’est le cas ici, la fonction de puissance \(n\) est négative à gauche de 0. Donc son inverse tend vers MOINS l’infini. Au contraire, lorsque \(n\) est pair, l’inverse de la fonction de puissance \(n\) tend vers plus l’infini à gauche de 0.
\(g\) étant l’opposée, elle tend vers plus l’infini.
\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{x \to 0}\\
{x < 0}
\end{array}} g(x) = + \infty \]
Le graphe tracé par une TI-83 Premium CE le montre bien : à gauche de l’axe des ordonnées, la courbe s’envole vers plus l’infini. À droite, elle remonte des profondeurs de moins l’infini.
Note : dans le programme de terminale, l’étude des limites apparaît avant l’étude de la fonction logarithme. Toutefois, il n’est pas absurde d’étudier d’abord cette dernière puis d’aborder les limites par la suite, auquel cas on ajoute à notre panoplie :
\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{x \to 0}\\
{x > 0}
\end{array}} \ln x = - \infty \]
Comme pour la fonction racine, il n’était pas indispensable de préciser \(x > 0.\)
