Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le vecteur normal à une droite

Vecteur normal dans le plan

Les prérequis pour tirer parti de cette page sont la connaissance de l’équation cartésienne d’une droite et la notion d’orthogonalité, démontrable par un produit scalaire nul.

Le niveau est facile. C’est une petite recette toute simple, qu’un élève de première générale doit pouvoir appliquer sans difficulté.

 

Vecteur normal

Un vecteur est normal à une droite s’il est orthogonal à un vecteur directeur de celle-ci. Ce terme peut sembler bizarre car les autres vecteurs ne sont pas forcément aberrants, mais norma signifie équerre en latin. Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un vecteur normal à la droite \((D)\) d’équation cartésienne \(\alpha x + \beta y + \delta\) \(= 0\) sont \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha\\ \beta \end{array}} \right)\)

Soit par exemple la droite \((D)\) d’équation \(2x + 3y - 2\) \(= 0\). Un vecteur normal à \((D)\) est \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)\)

Visualisation à l’aide de GeoGebra.

vecteur normal

A contrario, deux droites ne sont perpendiculaires que si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Illustrons cette propriété en déterminant l'équation de la hauteur d’un triangle (dans un plan muni d'un repère orthonormé) dont on connaît les sommets.

 

Hauteur

Rappelons que la hauteur d’un triangle \(ABC\) issue de \(A\) est la droite passant par \(A\) et qui coupe la droite \((BC)\) perpendiculairement. Elle n’appartient pas toujours au segment \([BC]\) (comme on peut le voir sur la page traitant de la droite d’Euler).

Soit un triangle dont les sommets sont \(A(1\, ;2),\) \(B(5\, ;-2)\) et \(C(10\, ;4).\) Déterminons les coordonnées de \(H,\) hauteur issue de \(A.\)

Soit \(H(x\, ;y).\) On sait que les vecteurs \(\overrightarrow {AH} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 1}\\
{y - 2}
\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {BC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10 - 5}\\
{ 4 + 2}
\end{array}} \right)\) \( = \overrightarrow {BC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
{ 6}
\end{array}} \right)\) sont orthogonaux.

Et c’est à ce moment précis que nous dégainons le produit scalaire. Rappelons que si deux vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul.

\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\)
\(⇔ 5(x - 1) + 6(y - 2) = 0\)
\(⇔ 5x - 5 + 6y - 12 = 0\)
\(⇔ 5x + 6y - 17 = 0\)

C'est une équation de la droite \((AH).\) Les calculs sont assez rapides. En revanche, si l'on cherche les coordonnées de \(H\) il faut se préparer à des étapes supplémentaires...

Déterminons une équation de \((BC)\) grâce au vecteur \(\overrightarrow {BC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-5}\\ {-6} \end{array}} \right).\)

Elle est de forme \(-6x + 5y + c = 0.\) On remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(B.\) \(-30 - 10 + c = 0.\) Donc \(c = 40.\) Une équation de la droite \((BC)\) est \(-6x + 5y + 40 = 0.\)

Et bien sûr, comme \(H\) se trouve à l'intersection des deux droites, il faut résoudre... un système (oui, c'est long).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6x + 5y = - 40}\\ { 5x + 6y = 17} \end{array}} \right.\)

Il est plus pratique de le résoudre par combinaison. Nous vous faisons grâce des étapes.

\(H\left( {\frac{{325}}{{61}}; - \frac{{98}}{{61}}} \right)\)

 

hauteur

Mais peut-être n'avez-vous pas encore étudié le produit scalaire ? Dans ce cas vous utiliserez une autre technique. Elle est moins immédiate si vous cherchez l'équation de \((AH)\) mais pas moins rapide si vous devez situer \(H.\)

Cette fois, nous déterminons d'abord l'équation de la droite \((BC).\) Nous l'avons fait ci-dessus. La technique ne change pas. Nous obtenons \(-6x + 5y + 40 = 0.\)

À présent, il faut trouver l'équation de \((AH).\) Comme elle est perpendiculaire à \((BC)\) elle est de la forme \(-5x - 6y + c = 0.\) Servons-nous des coordonnées de \(A\) pour déterminer \(c.\) \(-5 - 12 + c = 0.\) Donc \(c = 17.\) Une équation de \((AH)\) est \(-5x - 6y + 17 = 0.\)

Ensuite, nous trouvons \(H\) comme précédemment.

 

Exercice

Soit le plan muni d’un repère orthonormé. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par le point \(A(-1\, ;-3)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7\end{array}} \right)\)

 

Corrigé

Le vecteur \(\overrightarrow {u}\) doit être orthogonal à un vecteur de coordonnées \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1}\\
{y + 3}
\end{array}} \right)\)

\(1(x + 1) + 7(y + 3) = 0\)
\(⇔ x + 1 + 7y + 21 = 0\)
\(⇔ x + 7y + 22 = 0\)

Vérification :

vecteur normal

 

Voir aussi les exercices sur l'orthogonalité dans le plan.