Le repérage dans l'espace avec vecteurs

Géométrie analytique en 3D

Le repérage dans un espace défini par des vecteurs est au programme de terminale S. Théoriquement, aucune difficulté. L’espace a déjà été introduit au collège (voir la page repérage dans l’espace) et il suffit d’y transposer ce qui a été vu en classe de seconde en matière de géométrie analytique dans le plan.

 

Repérage

Trois vecteurs non coplanaires \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j\) et \(\overrightarrow k\) définissent une base. Cette base et un point fixe \(O\) permettent de définir un espace muni d’un repère \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).\)

Si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux et s’ils ont la même norme, le repère est orthonormé.

Les coordonnées d’un point \(M\) de l’espace sont le triplet \((x\,;y\,;z)\) tel que :

\(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \)

\(x\) est l’abscisse, \(y\) est l’ordonnée et \(z\) est la cote (ne pas confondre avec la côte !).

 

Milieu

Soit \(M\) le milieu du segment \([AB].\)

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\) \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\) et \({z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2},\)

C’est assez évident.

Exemple. On considère les points \(A(2\,; 1\,; 2)\) et \(B(-4\,; 1\,; 1).\) Les coordonnées de \(M,\) milieu de \([AB]\) sont :

\(M\left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2}\,;\frac{{1 + 1}}{2}\,;\frac{{2 + 1}}{2}} \right)\) \(= M\left( { - 1\,;1\,;\frac{3}{2}} \right)\)

Voir l'exercice de géométrie au bac S.

 

Distance

Dans un repère orthonormé, la longueur du segment \([AB]\) mesure :

\(AB = \)\(\sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_B}} \right)}^2}} \)

Exemple. On considère les points \(A(2\,; 1\,; 2)\) et \(B(-4\,; 1\,; 1).\) Quelle est la longueur \(AB\) ?

\(AB =\) \(\sqrt {{{\left( {2 - ( - 4)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}\) \(= \sqrt {37} \)

 

Norme

La norme du vecteur \(\overrightarrow u \) est :

\(\| {\overrightarrow u } \| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)

 

Coordonnées d’un vecteur

Soit les points \(A(x_A\,;y_A\,;z_A)\) et \(B(x_B\,;y_B\,;z_B).\) Le vecteur\(\overrightarrow {AB} \) a pour coordonnées :

\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} - {x_A}}\\ {{y_B} - {y_A}}\\ {{z_B} - {z_A}} \end{array}} \right)\)

Là encore, rien de bien nouveau depuis la seconde…

Exemple. On considère encore nos points \(A(2\,; 1\,; 2)\) et \(B(-4\,; 1\,; 1).\)

\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4 - 2}\\ {1 - 1}\\ {1 - 2} \end{array}} \right)\) \(= \overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ { - 1} \end{array}} \right)\)

 

Colinéarité

Comme vous le savez, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Soit deux vecteurs \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x'\\ y'\\ z' \end{array}} \right)\)

S’ils sont proportionnels, alors il existe un réel \(k\) tel que \(kx = x’,\) \(ky = y’\) et \(kz = z’.\)

 

Alignement

Après la colinéarité vient toujours l’alignement ! Donc, ici également, rien de changé depuis la seconde. Pour montrer que trois points \(A,\) \(B\) et \(C\) sont alignés, on montre que les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {AC} \) sont colinéaires (ou \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {BC}... \)).

Exemple. On considère les points \(A(2\,; 1\,; 2),\) \(B(-4\,; 1\,; 1)\) et \(C(-4\,; 1\,;3).\) Sont-ils alignés ?

Nous obtenons \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ { - 1} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right).\)

Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. Les points \(A,\) \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Autre exemple. On considère les points \(D(3\,;-1\,;2),\) \(E(6\,;2\,;6)\) et \(F(12\,;8\,;14).\)

\(\overrightarrow {DE} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3\\ 4 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {EF} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6\\ 8 \end{array}} \right)\)

On remarque que \(\frac{3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}\)

Les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Les points \(D,\) \(E\) et \(F\) sont alignés.