Exercices sur les limites avec exponentielles
Juste pour s’entraîner, voici quelques exercices corrigés sur les limites de fonctions accompagnés d'éléments de correction…
Exercice 1
Cet exercice est issu d'une épreuve du bac STT en 2005 (Polynésie).
Soit la fonction suivante : \(f: x \mapsto (4 - x^2)e^{-0,5x}\)
a. Déterminer la limite de \(f\) en \(– \infty.\)
b. En utilisant le résultat \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^{0,5x}}}}{{{x^2}}} = + \infty \) établir la limite de \(f\) en \(+∞,\) puis interpréter graphiquement le résultat.
Corrigé
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (4 - {x^2}) = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } e^{-0,5x} = + \infty \) donc, par produit, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \)
b. Nous sommes en présence d’une forme indéterminée, multiplication entre 0 et l’infini. Il faut modifier l’expression de la fonction. On développe \(f(x).\)
\[f(x) = 4e^{-0,5x} - \frac{x^2}{e^{0,5x}}\]
En moins l’infini, la limite de la fonction exponentielle est nulle. Par ailleurs, on cherche la limite de l’inverse de l’expression indiquée dans l’énoncé. Cette limite est donc l’inverse de \(+∞,\) donc 0. On en déduit que la limite lorsque notre fonction tend vers plus l’infini est égale à \((4 × 0) - 0 = 0.\)
L’interprétation graphique est que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe représentative de \(f\) à \(+∞.\)
Note : l’étude de cette fonction se poursuit en page d'extremums.
Exercice 2
Déterminer la limite suivante :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^{3x}}}}{{\ln ({x^8} + x + 1)}}\]
Corrigé
Il s’agit d’une simple application du théorème des croissances comparées. À l’infini, l’exponentielle est « infiniment plus élevée » que le logarithme. Il est clair que la limite est \(+∞.\)
Exercice 3
Cherchons la limite suivante :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)^x}\]
Nous sommes en présence d’une forme assez rare d’indétermination qui est 1 à la puissance infinie. Cette forme n’est d’ailleurs pas au programme dans le secondaire.
Corrigé
L’astuce consiste à « descendre » la puissance avec la bonne vieille propriété du logarithme. Dans le cadre de la question qui nous occupe, \(x\) est strictement positif. On peut donc poser l’égalité :
\[{\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)^x} = {e^{x\ln \left( {\frac{1}{x} + 1} \right)}}\]
Ce qui nous amène à chercher la limite suivante :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\ln \left( {\frac{1}{x} + 1} \right)\)
Mais la forme est toujours indéterminée. Il s’agit cette fois d’un produit entre l’infini et \(\ln1,\) c’est-à-dire 0. Il faut alors penser à la formule remarquable suivante :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1\)
Même si la formulation suivante est un peu moins souvent présentée, elle est directement liée à la précédente…
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\ln \left( {\frac{1}{x} + 1} \right) = 1\)
Alea jacta est. Il est dès lors évident que cette limite tant cherchée n’est autre que… \(e.\)
Exercice 4
Déterminer la limite suivante :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{4x}} - {e^x}}}{x}\]
Corrigé
Il s’agit d’une forme indéterminée « 0 divisé par 0 ». La résolution passe par un développement limité de Mc Laurin. Voyons si l’ordre 1 suffit.
Quelle est l’approximation affine de \(e^{4x}\) au voisinage de 0 ? La dérivée de cette expression est \(4e^{4x}.\) La simple application de la formule de la tangente en 0, soit\(f(0) + xf’(0),\) nous donne \(y = 4x + 1.\) De même, une fonction équivalente à \(e^x\) en 0 est \(y = x + 1.\)
\(\frac{e^{4x} - e^x}{x} \sim \frac{(4x + 1) - (x + 1)}{x} = \frac{3x}{x} = 3\)
L’ordre 1 suffit bel et bien. La limite est égale à 3.
Note : la fonction n’est pas définie en 0 mais elle admet la même limite à gauche et à droite. Un prolongement par continuité est donc possible.
Exercice 5
Quelle est la limite en 0 de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par \(f(x) = x^x\) ?
Corrigé
Il s’agit d’une forme indéterminée de type \(0^0.\)
Cette fonction peut s’écrire \(f(x) = e^{x\ln x}\) (voir exercice en page d'exponentielle de base a).
Dès lors, il s’agit de trouver la limite en 0 de \(x \ln x.\) On sait qu'elle n'est autre que 0.
Comme \(e^0 = 1,\) la limite de \(f\) en 0 est 1.
