Juste pour s’entraîner, voici quelques exercices sur les limites de fonctions avec les corrigés qui suivent…

Exercice 1

Cet exercice est issu d'une épreuve du bac STT en 2005 (Polynésie).

Soit la fonction suivante :

a. Déterminer la limite de f en –∞.

b. En utilisant le résultat…

…déterminer la limite de f en +∞, puis interpréter graphiquement le résultat.

Corrigé

a.

b. Nous sommes en présence d’une forme indéterminée, multiplication entre 0 et l’infini. Il faut modifier l’expression de la fonction. On développe f(x) puis on la réduit ainsi :

En moins l’infini, la limite de la fonction exponentielle est nulle. Par ailleurs, on cherche la limite de l’inverse de l’expression indiquée dans l’énoncé. Cette limite est donc forcément l’inverse de +∞, donc 0. On en déduit que la limite lorsque notre fonction tend vers plus l’infini est égale à (4 × 0) – 0 = 0.

L’interprétation graphique est que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f à +∞.

NB : l’étude de cette fonction se poursuit en page extremums.

Exercice 2

Corrigé

Il s’agit d’une simple application du théorème des croissances comparées. À l’infini, l’exponentielle est infiniment fois plus élevée que le logarithme. Il est clair que la limite est +∞.

Exercice 3

Cherchons la limite suivante :

Nous sommes en présence d’une forme assez rare d’indétermination qui est 1 à la puissance infinie. Cette forme n’est d’ailleurs pas au programme dans le secondaire.

Corrigé

L’astuce consiste à « descendre » la puissance avec la bonne vieille propriété du logarithme. Dans le cadre de la question qui nous occupe, x est strictement positif. On pose donc l’égalité :

Du coup, il faut trouver la limite suivante :

Mais la forme est toujours indéterminée. Il s’agit cette fois d’un produit entre l’infini et ln 1, c’est-à-dire 0. Il faut alors penser à la formule remarquable suivante :

Forcément, la limite de l’INVERSE de x lorsque x tend vers l’INFINI est aussi égale à 1. Même si la formulation suivante est un peu moins souvent présentée, elle est directement liée à la précédente…

Alea jacta est. Il est dès lors évident que cette limite tant cherchée n’est autre que… e.

Exercice 4

Corrigé

Il s’agit d’une forme indéterminée « 0 divisé par 0 ». La résolution passe par un développement limité de Mc Laurin. Voyons si l’ordre 1 suffit.

Quelle est l’approximation affine de e^4x au voisinage de 0 ? La dérivée de cette expression est 4e^4x. La simple application de la formule de la tangente en 0, soit f(0) + xf’(0), nous donne y = 4x + 1. De même, une fonction équivalente à e^x en 0 est y = x + 1.

L’ordre 1 suffit bel et bien. La limite est égale à 3.

NB : la fonction n’est pas définie en 0 mais elle admet la même limite à gauche et à droite. Un prolongement par continuité est donc possible.

Exercice 5

Quelle est la limite en 0 de la fonction définie sur R⁺* f(x) = x^x ?

Corrigé

Il s’agit d’une forme indéterminée de type 0⁰.

Cette fonction peut s’écrire e^xlnx (voir exercice en page exponentielle de base a).

Dès lors, il s’agit de trouver la limite en 0 de x ln (x). On sait qu'elle n'est autre que 0.

Comme e⁰ = 1, la limite de f(x) en 0 est 1.