Un problème géométrique avec produit scalaire

Problème géométrique dans l'espace (bac S)

Vous avez la chance d’avoir sous les yeux un extrait de l’épreuve de maths du bac S, Liban juin 2017, et son corrigé. Le sujet est bien dans l’esprit de l’épreuve car c’est une intéressante synthèse de notions vues au cours de la scolarité. Et encore, l’exercice n’a pas été reproduit dans son intégralité pour une mauvaise raison de mise en page. Sur ces considérations, au boulot.

 

Énoncé

On considère un cube \(ABCDEFGH\) dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous. Ses arêtes sont de longueur 1.

cube

Partie A

  1. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow {DF} \) est normal au plan \((EBG).\)

  2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((EBG).\)

  3. En déduire les coordonnées du point \(I\) d’intersection de la droite \((DF)\) et du plan \((EBG).\) On démontrerait de la même manière que le point \(J\) intersection de la droite \((DF)\) et du plan \((AHC)\) a pour coordonnées \(\left( {\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}} \right)\)

Partie B

À tout réel \(x\) de l’intervalle \([0 ;1],\) on associe le point \(M\) du segment \([DF]\) tel que \(\overrightarrow {DM} = x\overrightarrow {DF} \)

On s’intéresse à l’évolution de la mesure \(\theta\) en radian de l’angle \(\widehat {EMB}\) lorsque le point \(M\) parcourt le segment \([DF].\) On a \(0 \leqslant\theta \leqslant\pi .\)

  1. Que vaut \(\theta\) si le point \(M\) est confondu avec le point \(D\) ? Avec le point \(F\) ?

  2. a- Justifier que les coordonnées du point \(M\) sont \((x\;x\,;x).\)
  3. b- Montrer que \(\cos (\theta ) = \frac{{3{x^2} - 4x + 1}}{{3{x^2} - 4x + 2}}\)

    On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow {ME} \) et \(\overrightarrow {MB} .\)

La suite de ce passionant exercice n’est hélas pas reproduite ici.

 

Corrigé

Partie A

1. 2. Les deux premières questions sont traitées en page d’exercices sur les équations cartésiennes d’un plan. Une équation de \((EBG)\) est \(x + y + z - 2 = 0.\)

3. Utilisons une représentation paramétrique de la droite \((DF).\) Nous connaissons les coordonnées d’un vecteur directeur à \((DF)\) :

\(\overrightarrow {DF} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right)\)

Sa représentation paramétrique est donc particulièrement… épurée !

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = t}\\ {y = t}\\ {z = t}\\ {x + y + z - 2 = 0} \end{array}} \right.\)

Nous avons inclus dans le système l’équation du plan puisque que le point \(I\) vérifie cette double appartenance.

Système vraiment simple à résoudre. La dernière équation devient \(3t - 2 = 0\) d’où \(t = \frac{2}{3}\).

\(I\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\)

Partie B

1. Soit \(M\) confondu avec \(D.\) Dans ce cas le triangle \(EMB\) est équilatéral. Par conséquent : \(\widehat {EMB} = \frac{\pi }{3}\)

Soit \(M\) confondu avec \(F.\) Le triangle \(EMB\) est alors rectangle en \(M.\) par conséquent : \(\widehat {EMB} = \frac{\pi }{2}\)

2. a- Pas besoin de longs calculs !

\(\overrightarrow {DM} = x\overrightarrow {DF} .\) Or, \(\overrightarrow {DF} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right)\) donc \(\overrightarrow {DM} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 0}\\ {y - 0}\\ {z - 0} \end{array}} \right).\) Conclusion : \(M(x\,;x\,;x).\)

b- L’énoncé suggère de résoudre le produit scalaire entre les vecteurs suivants :

\(\overrightarrow {ME} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - x}\\ { - x}\\ {1 - x} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {MB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - x}\\ {1 - x}\\ { - x} \end{array}} \right)\)

Soit \({(1 - x)^2} - x(1 - x) - x(1 - x).\)

Considérant la forme à obtenir, nous ne factoriserons pas. Développons.

\(1-2x+x^2-x+x^2-x+x^2\)
\(= 3x^2 - 4x + 1\)

Rappel de la formule avec cosinus : \(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

Il s’ensuit que \(\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {MB}\) \(= ME \times MB \times \cos ( {\widehat {EMB}} )\)

\( = \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{( - x)}^2} + {{(1 - x)}^2}}\) \(\sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - x)}^2} + {{( - x)}^2}}\) \(\cos \theta \)

\( = \sqrt {3{x^2} - 4x + 2}\) \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} \cos \theta \)

Donc \(3x^2 - 4x + 1\) \(= (3x^2 - 4x + 2) \cos (\theta).\)

Nous vérifions bien que \(\cos (\theta ) = \frac{{3{x^2} - 4x + 1}}{{3{x^2} - 4x + 2}}\)