Le produit scalaire est une notion mathématique à connaître pour comprendre le fonctionnement des  analyses factorielles. Mais pas seulement. Les applications statistiques sont nombreuses puisque le modèle linéaire général est fondé là-dessus. C'est dire si le sujet est sérieux...

Les bienfaits du produit scalaire dans un espace à trois dimensions sont enseignés en classe de terminale S. C'est le chaînon entre le produit scalaire dans le plan (classe de première) et la multiplication de matrices. En effet, dès lors que l'espace vectoriel sur lesquel on travaille dépasse les trois dimensions, le produit scalaire revient à multiplier une matrice ligne avec une matrice colonne. Mais n'anticipons pas.

Géométrie euclidienne

Situons-nous en 3D. Les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan s'appliquent ici aussi puisque deux vecteurs sont forcéments coplanaires (c'est assez intuitif). Comme dans un plan, le produit scalaire se calcule soit par le cosinus, soit par les distances, soit par l'orthogonalité. Ses propriétés sont également les mêmes (commutativité, associativité, distributivité).

En pratique, c'est surtout la recherche d'orthogonalité qui utilise les propriétés du produit scalaire. Subtilité de langage, alors qu'une droite ou un plan sont orthogonaux, on dit plutôt qu'un vecteur est NORMAL. Voyons ceci.

Le projeté P d’un point A sur un plan est l’intersection de ce plan avec la droite qui lui est perpendiculaire et qui contient A. En termes moins matheux, P est le point du plan qui se trouve le plus près de A. La distance entre ces deux points (sur un plan comme sur une droite) est égale à la valeur absolue du vecteur normal multiplié par la distance entre A et n’importe quel point de la droite (ou du plan), divisée par la norme :

Un élève de terminale qui a étudié la régression linéaire simple peut très bien percevoir les implications pratiques de l'orthogonalité. S'il existe deux variables explicatives au lieu d'une, le nuage de points représentatif des observations est en trois dimensions. Il ne sera pas résumé par une droite mais par un plan. Habituellement, on considère que la position du plan qui résume au mieux le nuage est celui qui minimise les distances (ou plutôt leurs carrés) entre les observations et leurs projetés. Le produit scalaire est donc bien au coeur des techniques statistiques.

Géométrie analytique

Pour rechercher une orthogonalité dans un espace à trois dimensions, deux formules sont utilisées.

Premièrement, une équation d’expression ax + by + cz + d = 0 est celle d’un plan dont le vecteur normal a pour coordonnées (a ; b ; c).

Deuxièmement, la distance d’un point A(x_A ; y_A ; z_A) au plan est :

... et ainsi de suite dans un hyperespace où les dimensions pullulent...

Exemple.

Prenons un plan dans un espace à trois dimensions, dont l’équation cartésienne est x + 2y – 2z + 7 = 0 et un point A de coordonnées (1 ; 1 ; 2). La distance qui sépare le point du plan est de :

C’est donc la distance qui existe entre ce point et son projeté orthogonal.

Nommons P ce projeté. Où peut-on le trouver ?

Nous avons vu qu’on détermine facilement un vecteur normal d’un plan. En l’occurrence, on a ici (1 ; 2 ; -2). Si l’on part du point A (1 ; 1 ; 2), on va suivre ce vecteur sur une certaine distance pour finir notre course contre le plan. Cette distance k est une « proportion » du vecteur, ce n’est pas la distance d déterminée plus haut. Donc, les coordonnées de P se trouvent en résolvant un petit système :

Comme P se situe sur le plan, il suffit de remplacer x, y et z dans l’équation cartésienne du plan :

(1 + k) + 2(1 + 2k) – 2(2 – 2k) + 7 = 0, donc k = -⅔.

On obtient :

Ce sont les coordonnées de P. Vérifions à présent que la distance euclidienne est bien égale à d.

Super...