Aperçu du produit scalaire dans l'espace
Un produit scalaire est une opération très abstraite, peu intuitive. Enseignée dès la classe de première générale, elle constitue pourtant une introduction aux mécanismes du produit matriciel, fondement de techniques plus élaborées et très opérationnelles (citons par exemple dans le domaine des statistiques, les analyses factorielles ou la régression multiple...). Pourquoi cette notion de produit scalaire est-elle si importante ? Pour la bonne raison que c'est elle qui définit la distance euclidienne. Les implications sont considérables. C'est dire si le sujet est sérieux.
Les bienfaits du produit scalaire dans un espace à trois dimensions sont quant à eux enseignés en classe de terminale générale (spécialité). C'est le chaînon qui relie le produit scalaire dans le plan à la multiplication de matrices (maths expertes). En effet, dès lors que l'espace sur lequel on travaille dépasse les trois dimensions, le produit scalaire revient à multiplier une matrice ligne avec une matrice colonne. Mais comme vous n'avez peut-être pas choisi les maths expertes, restons-en là avec les matrices et présentons le produit scalaire dans l'espace.
De la 2D à la 3D
En terminale on prend de la hauteur alors situons-nous dans l'espace.
Les propriétés du produit scalaire dans le plan s'appliquent ici aussi puisque deux vecteurs sont toujours coplanaires (voir la page d'exercices sur le produit scalaire dans l'espace). C'est assez évident. Imaginez trois points qui flottent dans l'air, vous pouvez toujours plaquer un plateau qui les touche tous, quelles que soient leurs positions.
Comme dans un plan, le produit scalaire se calcule soit par la formule du cosinus, soit par la formule des normes (appelée aussi de polarisation) soit par les coordonnées des vecteurs.
Ses propriétés sont également les mêmes. D'ailleurs nous allons les rappeler.
Soit \({\overrightarrow u }\) et \({\overrightarrow v }\) deux vecteurs de l'espace.
Rappel de la formule avec cosinus :
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos ( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } )\)
Si les vecteurs sont colinéaires, elle devient tout simplement \(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \|\) lorsque les vecteurs sont de même sens et \(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= -\| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \|\) s'ils sont de sens contraires.
En particulier, souvenons-nous que \(\overrightarrow u .\overrightarrow u\) \(= \| {\overrightarrow u } \|^2\) (carré scalaire).
Formules de polarisation :
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(=\) \(\frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u } \|}^2} + {{\| {\overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \|}^2}} \right)\) \(=\) \(\frac{1}{2}\left( {{{-\| {\overrightarrow u } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow v } \|}^2} + {{\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|}^2}} \right)\)
Propriétés
Soit \({\overrightarrow u },\) \({\overrightarrow v }\) et \({\overrightarrow w}\) trois vecteurs de l'espace et soit \(k\) un réel.
La commutativité (que l'Éducation nationale nomme curieusement symétrie pour la terminale).
\({\overrightarrow u }.{\overrightarrow v } = {\overrightarrow v }.{\overrightarrow u }\)
La bilinéarité :
\({\overrightarrow u }.({\overrightarrow v } + {\overrightarrow w }) = {\overrightarrow u }.{\overrightarrow v } + {\overrightarrow u }.{\overrightarrow w }\) (distributivité)
\((k {\overrightarrow u }).{\overrightarrow v } = k({\overrightarrow u }.{\overrightarrow v })\)
\(\|{\overrightarrow u } + {\overrightarrow v }\|^2 = \|{\overrightarrow u }\|^2 + 2{\overrightarrow u }.{\overrightarrow v } + \|{\overrightarrow v }\|^2\) (identité remarquable).
La relation de Chasles s'applique également.
Espace repéré
Situons-nous à présent dans un espace muni d'un repère orthonormé. Le calcul du produit scalaire est particulièrement simple si l'on dispose des coordonnées des deux vecteurs, soit respectivement \((x\,;y\,;z)\) et \((x'\,;y'\,;z').\) Nous obtenons : \(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= xx' + yy' + zz'.\) Voir la page sur le produit scalaire dans l'espace repéré.
Projection orthogonale
Un produit scalaire nul signifie l'orthogonalité entre deux vecteurs non nuls. Ainsi, dans l'espace, le produit scalaire permet de déterminer les coordonnées du projeté d'un point \(A\) sur une droite ou un plan ainsi que la distance entre \(A\) et cette droite ou ce plan.
Équation de plan
Si vous connaissez les coordonnées de trois points dans un espace muni d'un repère, alors vous pouvez déterminer l'équation d'un plan de cet espace, défini par ces trois points, moyennant deux produits scalaires (exercice 2 des équations cartésiennes de plans).
Distances
Le produit scalaire sert aussi à calculer des distances dans un espace muni d'un repère. Voir la page sur les distances.
